РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ (ПЛОСКОСТИ)

   Пусть дана точка М, и требуется найти расстояние от этой точки до прямой l (плоскости Q). Расстояние d от точки до прямой (плоскости) равно модулю числа, полученного в результате подстановки координат данной точки в левую часть нормального уравнения прямой (плоскости).
  1. d = | x0 cos α + y0 cos β - p | – для прямой;
  2. d = | x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ - p | – для плоскости.
Докажем справедливость равенства d = | x0 cos α + y0 cos β - p | для прямой l с уравнением x cos α + y cos β - p = 0 и точки М0 (х0, у0).

a)
б)
   При любом расположении точки М0 и прямой l расстояние d между ними равно расстоянию между точкой Р и проекцией М1 точки М на ось ОР с ортом (Смотри рис. а) и б)).
   Будем рассматривать ось ОР с ортом как координатную ось с началом в точке О. Расстояние между двумя точками на координатной оси равно модулю разности их координат на этой оси.Это мы уже проходили.
Координата точки Р на этой оси равна р (); координата точки М1 на этой оси равна . В одних случаях (Рис. а)) ; в других случаях (Рис. б)) .
   Обозначим координату точки М1 на координатной оси ОР через р1. В любом случае

; .
Окончательно
d = PM1 = | p1 - p | = | x0 cos α + y0 cos β - p |,
что и требовалось доказать.

СМОТРИМ ДАЛЬШЕ  »