ОБЗОР ГЛАВЫ 4

   Многое из того, что было сказано о прямой на плоскости, почти в точности повторялось для плоскости в пространстве.
   Как прямая, так и плоскость вполне определяются заданием нормального вектора и точки.
   Уравнение прямой, заданной нормальным вектором и точкой М0 (a, b), имеет вид
A (x - a) + B (y - b) = 0 (1)
   Уравнение плоскости, заданной нормальным вектором и точкой М0 (a, b, c) имеет вид
A (x - a) + B (y - b) + С (z - c) = 0 (2)
Уравнения (1) и (2) следуют из признака перпендикулярности двух векторов и
   Если в уравнении A (x - a) + B (y - b) = 0 раскрыть скобки и обозначить алгебраическую сумму свободных членов через С, то получим уравнение
Ax + By + C = 0 = 0, (3)
которое называется общим уравнением прямой.
   Если в уравнении A (x - a) + B (y - b) + C (z - c) = 0 раскрыть скобки и обозначить алгебраическую сумму свободных членов через D, то получим уравнение
A x + B y + C z + D = 0 = 0, (4)
которое называется общим уравнением плоскости.
   Всякое уравнение вида (3) определяет прямую на плоскости.
   Всякое уравнение вида (4) определяет плоскость в пространстве.
   Таким образом, прямая есть линия первого порядка, а плоскость – поверхность первого порядка.
   Если в уравнении прямой (плоскости) свободный член равен 0, то эта прямая (плоскость) проходит через начало координат.
   Если в уравнении прямой (плоскости) коэффициент при одной из переменных равен0, то прямая (плоскость) параллельна соответствующей координатной оси; если к тому же и свободный член равен 0, то прямая (плоскость) совпадает с координатной осью.
   Если ни один из коэффициентов уравнения прямой (плоскости) не равен нулю, то уравнение этой прямой (плоскости) можно привести к виду « в отрезках »:
(прямая)
(плоскость)
   Числа a, b (и с) являются ненулевыми координатами точек пересечения прямой (плоскости) с координатными осями, а по абсолютной величине – длинами отрезкой, отсекаемых прямой (плоскостью) на координатных осях. Две прямые (плоскости) параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых переменных в их уравнениях пропорциональны:
для прямых
A1 x + B1 y + C1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 = 0.
Для плоскостей
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
условие параллельности примет вид
.
   Если все коэффициенты (включая свободные члены) двух прямых (плоскостей) пропорциональны, то такие прямые (плоскости) совпадают.
   Две прямые
A1 x + B1 y + C1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 = 0.
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
A1 A2 + B1 B2= 0.
   Две плоскости
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0
   Угол Θ между двумя прямыми A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 определяется по формуле
   Угол Θ между двумя плоскостями A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 определяется по формуле:
   Положение прямой на плоскости вполне определено, если заданы:
а) длина р перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на прямую;
б) угды α и β, образованные вектором с осями Ох и Оу (См. рис.)
   Положение плоскости в пространстве вполне определено, если заданы:
а) длина р перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость;
б) угды α, β и γ образованные вектором с осями Ох, Оу и Оz (См. рис.)
x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0 – нормальное уравнение плоскости;
x cos α + y cos β - p = 0 – нормальное уравнение прямой;
   Нормальное уравнение прямой (плоскости) есть частный случай общего уравнения прямой (плоскости), в котором в качестве коэффициентов А, В (А, В, С) при переменных фигурируют координаты единичного вектора тогоже направления, что и .    Чтобы нормировать (привести к нормальному) общее уравнение прямой (плоскости), нужно разделить его на число, равное (), знак которого выбирается противоположным знаку свободного члена общего уравнения.
   Нормировать можно всякое общее уравнение. Всякое нормальное уравнение определяет прямую (плоскость); следовательно, и всякое общее уравнение определяет прямую (плоскость).
   Расстояние d от точки М до плоскости равно абсолютной величине числа, полученного в результате подстановки координат точки М0 вместо переменных в левую часть нормального уравнения прямой (плоскости) :
d = | x0 cos α + y0 cos β - p | (для прямой)
d = | x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ - p | (для плоскости).
   Число δ, равное для прямой δ = x0 cos α + y0 cos β - p и для плоскости δ = x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ - p называется отклонение точки от прямой (плоскости).
   Отклонение δ точки от прямой (плоскости) положительно тогда и только тогда, когда точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой (плоскости) и отрицательно тогда и только тогда, когда эти точки лежат по одну сторону.
   Угловым коэффициентом k прямой называется тангенс угла наклона прямой к оси Ох.
   Углом наклона прямой к оси Ох называется меньший из углов, на который нужно повернуть положительную полуось против часовой стрелки, чтобы совместить её с прямой.
   Если М1 (x1, y1) и М2 (x2, y2) – точки прямой, то угловой коэффициент k этой прямой найдётся по формуле
.
   Направляюшим вектором прямой называется вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, ей параллельной. Вектор – направляющий вектор прямой с угловым коэффициентом k. Если – направляющий вектор прямой, пересекающей ось Оу в точке В с ординатой b, а М (х, у) – произвольная точка этой прямой, то векторы и коллинеарны; следовательно,
откуда
у = k·x + b.
Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
   Чтобы привести уравнение A·x + B·y + C = 0 к виду у = k·x + b достаточно разрешить его относительноу.
   Прямые у = k1·x + b1 и у = k2·x + b2 параллельны тогда, когда k1 = k2, а перпендикулярны, когда k1·k2 = - 1.
   Угол α между прямыми у = k1·x + b1 и у = k2·x + b2 находится по формуле
   y - y1 = k·(x - x1) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М (х1, у1).
   При переменном k это уравнение определяет различные прямые, проходящие через точку М и называется уравнением пучка таких прямых.
   Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1 (х1, у1) и М2 (х2, у2), имеет следующий вид:
.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ »