выпадающее и выбор

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Как уже было сказано выше линии второго порядка на плоскости определяются уравнениями второй степени с двумя переменными A·x² + B·x·y + C·y² + D·x + E·y + F = 0. Существуют всего три типа линий второго порядка:

1) эллипс (и его частный вид – окружность);
2) гипербола;
3) парабола.

§ 1. Уравнение окружности

Окружность определена, если заданы её центр и радиус. Составим уравнение окружности с центром С (а, b) и радиусом R.

Окружность есть геометрическое место точек M (x, y) на плоскости, удалённых от данной точки (центра) С (а, b) на расстояние R.
CM = R.
,

или (x - a)² + (y - b)² = R². Это и есть уравнение окружности с центром С (а, b) и радиусом R.

Напишите уравнения окружностей, для которых

С( 2, - 3), ,
С( 0, 2), R = 2,
С( 0, 0), R = 1.

	x² + y² = 1	x² + (y - 2)² = 4	(x - 2)² + (y + 3)² = 2
1.
2.
3.

Найдите координаты центра и радиусы окружностей, заданных уравнениями

	(x - 2)² + (y + 3)² = 25	x² + (y + 2)² = 3	x² + y² = - 4	(x + 4)² + y² = 5
C (2; - 3), R = 5
C (0; - 2), R = 3
C (0; 0), R = 2
C (- 4; 0),

Необходимыми условиями, при которых общие уравнения кривых второго порядка определяют окружность являются

1) отсутствует член с произведением переменных x·y,
2) коэффициенты при x² и y² равны.

Действительно, перепишем уравнение окружности (x - a)² + (y - b)² = R² в таком виде: x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0; сравним его с общим уравнением линии второго порядка Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, Написав равенства между коэффициентами А, В, С, D, E и соответствующими коэффициентами уравнения окружности, получим А = 1, В = 0, С = 1, D = - 2a,E = - 2b, F = a² + b² - R².
Что и требовалось доказать.
Пример. Приведите уравнение x² + y² - 2x + 4y - 11 = 0 к виду (x - a)² + (y - b)² = R².
Решение.Для этого:

1) сгруппируем члены, содержащие одноименные переменные, и и заключим их в скобки: (x² - 2x) + (y² + 4y) - 11 = 0;
2) свободный член перенесём в правую часть: (x² - 2x) + (y² + 4y) = 11;
3) каждое выражение в скобках дополним до квадрата суммы или разности; а сумму чисел, добавленных в скобках, прибавим к правой части уравнения: (x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 11 + (1 + 4);
4) запишем выражения в скобках в виде квадрата суммы или разности двух чисел: (x - 1)² + (y + 2)² = 16;

Последнее уравнение есть уравнение окружности с центром О(1, - 2) и радиусом R, равным 4.

Однако, если применить преобразования, рассмотренные на странице 2, к выражению x² + y² - 4x + 6y + 22 = 0, то получим уравнение (x - 2)² + (y + 3)² = - 9, которое не определяет никакой окружности (квадрат радиуса не может быть отрицательным). Таким образом указанные выше на странице 2 условия являются только необходимыми, но не достаточными для того, чтобы общее уравнение линии второго порядка было уравнением окружности.
Пример.

1) Уравнение x² + 2y² - 3x - 4y - 10 = 0 не может быть уравнением окружности, так как коэффициенты при х² и у² различны,
2) Уравнение x² + y² + 2x - 8 = 0 является уравнением окружности, так как это уравнение приводится к виду (x + 1)² + y² = 9, что соответствует окружности с центром С (- 1, 0); R = 3.
3) Уравнение x² + y² + 2ху + 2x - 3y - 9 = 0 не может быть уравнением окружности, так как оно содержит член с произведением ху,
4) Уравнение 4x² + 4y² - 8x + 16y - 1 = 0 является уравнением окружности, так как это уравнение приводится к виду (x - 1)² + (y + 2)² = 25/4, что соответствует окружности с центром С (1, - 2); R = 5/2.

Пересечение окружности с прямой

Чтобы найти точки пересечения окружности с прямой, нужно решить систему их уравнений.
Задача. Найдите точки пересечения окружности x² + 2x + y² - 4y - 20 = 0 с прямыми а) y - 2x - 2 = 0, б) 3x - 4y + 36 = 0, в) x + y = 10.

	М (2, 6)	P (- 4, 6)
a)
б)
в)

Попробуй построить окружность и эти прямые. У нас получилось так. А у Вас как получится? Посмотрите.

СФЕРА

Пространственным аналогом окружности является сфера (сферическая поверхность). Сфера есть геометрическое место точек пространства, удалённых от данной точки О на одно и то же расстояние R. Точка О – центр сферы; R – радиус сферы.
Составим уравнение сферы с центром О (а, b, c) и радиусом R.

Для этого:

Запишем общее свойство точек сферы для произвольной точки М(x, y, z) сферы в виде равенства: МО = R;
Выразим члены этого равенства через текущие координаты х, у, z точки М и данные величины а, b, c и R (применим формулу расстояния между точками в пространстве) или (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R ² – уравнение сферы.

Сфера с центром в точке О(- 3, 0, 2) и радиусом 5 имеет уравнение (x + 3)² + (y)² + (z - 2)² = 25;
Сфера с центром в начале координат и радиусом R имеет уравнение x² + y² + z² = R²
Сфера с уравнением (x + 3)² + (y)² + (z - 1)² = 5 имеет центр в точке О( - 3, 0, 1) и радиус .

Найдём условия, необходимые для того, чтобы общее уравнение поверхности второго порядка A·x² + B·y² + C·z² + D·x·y + E·y·z + F·z·x + G·x + H·y + K·z + L = 0 Эти условия определяются равенствами между коэффициентами членов второй степени общего уравнения поверхности II порядка и соответствующими коэффициентами уравнения сферы (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R ² Для того чтобы общее уравнение поверхности II порядка определяло сферу, необходимо

1) коэффициенты при квадратах переменных были равны: А = В = С, и
2) отсутствовали члены с произведениями переменных: D = 0, E = 0, F = 0.

Задача. Укажите, какие числа нужно добавить в указанных местах, чтобы в уравнении
x² + y² + z² - 6x + 2y - 4z = 0 выделить полные квадраты

Сферу можно рассматривать как поверхность, полученную вращением окружности вокруг её диаметра.