ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) есть величина постоянная (обозначим эту постоянную величину через 2а).
Мусть М —произвольная точка эллипса,тогда общее свойство всех точек эллипса запишется в виде ревенства F₁М + М F₂ = 2а Обозначим F₁ F₂ = 2с. Из неравенства треугольника (сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны) следует, что 2а > 2с, или а > с.
   Чтобы получить представление об эллипсе

• закрепим концы нитки в двух точках;
• натянем нитку каранжашом;
• проведём линию, сохраняя нитку в натянутом состоянии.

Полученная линия есть эллипс, так как сумма расстояний любой её точки М до точек закрепления нитки есть величина постоянная, равная длине нитки.

КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА

   Выберем систему координат так, чтобы

1) ось абсцисс прошла через фокусы F₁ и F₂,

2) ось ординат – через середину отрезка F₁F₂

Пусть М (х, у) – произаольная точка эллипса. Выведем уравнение эллипса. Для этого

1) запишем в виде равенства общее свойство всех точек эллипса: F₁М + М F₂ = 2а;

2) найдём координаты фокусов: F₁ (- с, 0), F₂ (с, 0);

3) выразим длины отрезков F₁М и М F₂: , ;

4) подставим эти выражения в равенство из пункта 1: ;

5) упростим полученное выражение ;

6) возведём в квадрат обе части последнего оавенства и получим соотношение:;

7) откуда или ;

8) возводя в квадрат последнее равенство, получим a²(x² - 2cx + c² + y²) = a⁴ - 2a²cx + c²x²;

9) или a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + c²x²;

10) или (a² - c²)x² + a²y² = a²( a² - c²);

11) и, наконец, .

12) Поскольку а > c и, следовательно, a² - c² > 0, то a² - c², как всякое положительное число, можно обозначить через b². Получим каноническое (принятое за образец) уравнение эллипса .

   Эллипс пересекает ось асцисс в точках А₁ (- а, 0), А₂ (а, 0), ось ординат эллипс пересекает в точках В₁ (0, b), В₂ (0, - b). Таким образом, а – расстояниеточек пересечения эллипса с осью Ох до начала координат, b – расстояниеточек пересечения эллипса с осью Оy до начала координат.
   Задача. Найдите значения а и b для эллипса

a = 9, b = 4	a = 3, b = 2	a = ±3, b = ±2

Теперь, когда известен геометрический смысл чисел а, b, c, понятен геометрический смысл соотношения a² - c² = b². Это соотношение представляет метрические соотношения между сторонами треугольника ОB₂F₂. Сторона В₂А₂ = а по определению эллипса. Полезно помнить, что для эллипса а > c (a – гипотенуза, с – катет).
   Соотношение a² - c² = b² даёт возможность составить уравнение эллипса, зная какие - нибудь два из чисел а, b, c.

Укажите каноническое уравнение окружности, для которого заданы какие - нибудь два из чисел а, b, c.

b = 2, a = 4 b = 1, c = 5 a = 3, c = 2

Задача. Найдите а, b, c для эллипса 2x ² + 3y ² = 6.

Положение эллипса относительно канонической системы координат

1. Эллипс симметричен относительно координатных осей. Это вытекает из того, что симметричные относительно оси Ох точки с координатами (х, у) и (х, - у) удовлетворяют уравнению эллипса. Симметричные относительно оси Оу точки с координатами (х, у) и (- х, у) также удовлетворяют уравнению эллипса. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит линии. Для любой точки эллипса найдётся точка, симметричная относительно оси Ох, и точка, симметричная относительно оси Оу, т. е. эллипс симметричен относительно координатных осей.
2. Эллипс симметричен относительно начала координат. Это вытекает из того, что симметричные относительно начала координат точки с координатами (х, у) и (- х, - у) удовлетворяют уравнению эллипса. Для любой точки эллипса найдётся точка, симметричная относительно начала координат, т. е. эллипс симметричен относительно начала координат.

   Начало координат является центром симметрии эллипса и называется его центром.
На рисунке изображён эллипс . Отрезок А₁А₂ = 2а называется большой осью эллипса. Соответственно отрезок ОА₂ называется большой полуосью эллипса. (точнее, большая ось –та, на которой лежат фокусы эллипса).
   Отрезок В₁В называется малой осью эллипса, а отрезок ОВ₂ = b – его малой полуосью. Точки А₁, А₂, В₁, В₂ называются вершинами эллипса.

Задача. Найдите 1) координаты вершин А₁, А₂, В₁, В₂ и 2) длины большой и малой осей эллипса

А1 А2 В1 В2 большая ось малая ось (- 5, 0) (5, 0) (0, 3) (0, - 3) (- 3, 0) (3, 0) (0, - 5) (0, 5) (- 5, 0) (5, 0) (0, 3) (0, - 3) (- 3, 0) (3, 0) (0, - 5) (0, 5) (- 5, 0) (5, 0) (0, 3) (0, - 3) (- 3, 0) (3, 0) (0, - 5) (0, 5) (- 5, 0) (5, 0) (0, 3) (0, - 3) (- 3, 0) (3, 0) (0, - 5) (0, 5) - 10 10 -6 6 - 10 10 -6 6

Построение эллипса по его уравнению

   Чтобы построить эллипс по его уравнению,нужно

1) найти а и b,

2) на оси Ох в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины а,

3) на оси Оу в обе стороны от начала координат отложить отрезки длины b,

4) через концы всех четырёх отрезков провести прямые, параллельные осям координат,

5) в полученный прямоугольник вписать эллипс, который и будет искомым.

На рисунке построен эллипс с полуосями а = 5, b = 3. Фокусное расстояние для него .

Эксцентрисистет эллипса

Выясним, от чего зависит степерь сплющенности эллипса к оси Ох. Задача. На представленных двух верхних рисунках эллипсов укажите эллипс, который имеет большее фокусное расстояние F1F2 = 2c? В самом деле, из формулы с ² = a ² - b ² видно, что при постоянном а с увеличением b полуфокусное расстояние с уменьшается. Теперь понятно у какого эллипса на рисунках фокусное расстояние больше, это у верхнего. Таким образом, при фиксированном а число с характеризует степень “сплющенности” эллипсо к его большой оси.    наименьшее значение, которое может иметь параметр с равен нулю. При с = 0 имеем а ² = b ², откуда а = b. В этом случае уравнение линии будет иметь вид или x ² + y ² = a ². Этому уравнению соответствует окружность.    При совпадении фокусов ( с = 0) эллипс является окружностью; когда фокусы F1, F2 приближаются к вершинам, эллипс всё более сплющивается.    Отношение (″ эпсилон ″) называется эксцентрисистетом эллипса.    Слово ″ эксцентрисистет ″ означает отклонение от центра.. Согласно данному определению эксцентрисистет есть отклонение фокуса от центра, отнесённое к длине большой полуоси. Эксцентрисистет служит для сравнения степени сплющенности эллипсов с раздичными а.    Эксцентрисистет эллипса меньше единицы, так как с < a.    Задача. определите эксцентрисистеты линий х ² + y ² = 1 1,25 1 0 0,9 0,8 1,25 1 0 0,9 0,8

   Чем больше эксцентрисистет ε, тем больше эллипс отличается от окружности (т. е. тем больше отличаются друг от друга а и b).
   Действительно, так как b ² = a ² - c ², то . При ε = 0 из последнего соотношения следует а = b, и эллипс обращается в окружность. Далее при увеличении ε параметр b уменьшается и эллипс становится всё более сплющенным.
   Задача. Определите какой из эллипсов 1) ; 2) больше отличается от окружности.

---

   Составьте каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М₁ (3; 2,4) и М₂ (4; 1,8) и найти его эксцентрисистет.
   Решение. Составим систему двух уравнений с неизвестными а и b, используя общий вид канонического уравнения эллипса и условия принадлежности эллипсу точек М₁ и М₂: Пусть ; тогда имеем . Решив эту систему, получим .
—уравнение эллипса. Этот эллипс уже рассматривался выше, где уже найден его эксцентрисистет ε = 0,8.