ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ

   Кроме известных прямоугольных декартовых систем координат, существуют и другие системы координат. Наприер, декартова косоугольная система координат, система полярных координат, система сферических координат и др.
   Для задания полярной системы координат выбирают на плоскости:

1. точку О, называемую полюсом,
2. луч ОР, называемый полярной осью,
3. маштабную единицу.

   Отрезок ОМ называется полярным радиусом точки М.
   Положение точки на плоскости определяется

1. длиной ρ её полярного радиуса (ρ ≥ 0).
2. углом φ, отсчитываемым от полярной оси ОР против часовой стрелки до полярного радиуса (φ ≥ 0). Угол φ меняется в радианах.

     Радиан – центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой равна радиусу. 1 радиан ≈ 57,3°; 180° ≈ 3,14 радиана.

---

   На рисунке изображён квадрат со стороной, равной 4 ед. Укажите полярные координаты (ρ φ) вершин квадрата и середин его сторон.

(2, 0) (2, π) А B С D M N R Q

Введи ответ

Задача 1. В полярной системе координат даны точки М1(2, π/4), М2(3, π), М3(5, 0), М4(2, 7π/2). На рисунке укажите номера точек, которые Вы бы поставили на указанные места.    Задача 2. Естественно задать вопрос: является ли соответствие между точками плоскости и множеством всевозможных пар значений ρ и φ взаимно однозначным? Подумайте и попробуйте вставить нужное слово Каждой точке плоскости соответствует не единственная единственная пара значений ρ и φ. Каждой паре чисел ρ и φ соответствует не единственная единственная точка плоскости Введи ответ задачи 2

Введи ответ задачи 1

---

Связь между полярными и прямоугольными координатами

   Чтобы установить эту связь, совместим

• 1) полюс полярной системы координат с началом прямоугольной системы координат,
• 2) полярную ось – c положительной полуосью обсцисс.Нажми на линк для просмотра рисунка

   Используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, получим соотношения Легко проверить, что эти формулы справедливы для любого положения точки М(ρ φ) относительно координатных осей.
   Проверим справедливость этих формул для точки М(ρ φ), лежащей в третьей чевверти. В треугольнике OMN Нажми на линк для просмотра рисунка. ON = |x| = ρ·cos(φ - π) = -ρ·cosφ;откуда |x| = - ρ·cosφ; но |x| = - x (так как x < 0), следовательно, - x = - ρ·cosφ и x = ρ·cosφ.
   Проверьте самостоятельно справедливость формулы y = ρ·sinφ для точки на рисунке. Коментарий здесь

---

Упражнение. Найдите прямоугольные координаты точки, заданной полярными координатами: ρ = 5; φ = 5π/6.

		-		-
x
y

Введи ответ   Выразим ρ и φ через х и у. Для этого

• 1) разделим равенство у = ρ·sinφ на равенство х = ρ·cosφ: ;
• 2) возведём в квадрат оба равенства и рузультаты сложим: ρ² = x ² + y ², или .

Упражнение. Найдите полярные координаты точки, декартовы координаты которой (2, - 2).

	1	- 1		-		-		-
ρ
φ

Введи ответ

---

   Упражнение. Преобразуйте к полярным координатам уравнение окружности х ² + y ² = R².
(Коментарий здесь)

---

    Упражнение. Докажите, что уравнение прямой у = х в полярных координатах имеет вид φ = (Коментарий здесь).

---

   Упражнение. Определите, какую линию представляет уравнение , преобразовав это уравнение к прямоугольным координатам. (Коментарий здесь)

Построение линий, заданных уравнениями в полярных координатах

   Каждой паре значений (ρ, φ) соответствует единственная точка плоскости. Будем строить линии, заданные уравнениями в полярных координатах, по точкам.
   Пример. Построим линию .

1. Найдём из данного уравнения значения ρ, соответствующие значениям φ, данным в таблице.
2. Впишем найденные значения ρ в таблицу

   φ	0				π				2π
   ρ	0		≈ 0,8		≈ 1,6		≈ 2,4		π ≈ 3,1

3. Построим точки, соответствующие парам значений ρ и φ из таблицы (Коментарий здесь).
4. Соединив построенные точки плавной кривой, получим дугу линии, называемой спиралью Архимеда (Коментарий здесь). При возрастании φ число витков спирали будет увеличиваться неограниченно.

---

   Пример. Построить линию, заданную уравнением: ρ = 4·sin 2φ.Заметим, что ρ ≥ 0 и φ ≥ 0, поэтому φ можно давать только неотрицательные значения и притом такие, которым соответствуют неотрицательные значения ρ.
   Найдём область допустимых значений φ для данного уравнения: (sin 2φ ≥ 0) Þ (0 + 2kπ < 2φ < π + 2kπ) Þ (kπ < φ < + kπ).При k =0 имеем 0 < φ < (I четверть),
при k = 1 - π < φ < (III четверть),
при k = 2 2·π < φ < 2π + (I четверть) и т. д.
   Таким образом, значения φ можно брать только из I - ой и III - ей четвертей.
   Далее заполним таблицу значениями ρ, соответствующими значениям φ, взятым из первой и третьей четвертей.

φ	0
ρ	0		4		0		4		0

   Построим точки с координатами из этой таблицы (Коментарий здесь), и соединим их плавной линией. Мы получим линию, изображённую на рисунке (Коментарий здесь).
   Упражнение. Постройте линию, заданную уравнением ρ = - 4·sin 2φ. (Таблица здесь),(Рисунок здесь)

   Изобразив кривые, соответствующие уравнениям ρ = 4·sin 2φ и ρ = - 4·sin 2φ, на одном чертеже, получим линию, которая называется «четырёх лепестковая роза» (Рисунок здесь).
   Замечание. «Четырехлепестковую розу» пожно построить в один прием, если условиться, что ρ может принимать отрицательные значения, приписав этому следующий геометрический смысл: точка с отрицательным ρ лежит не на стороне угла φ, а на её продолжении за полюс О на расстоянии от О, равном |ρ|. Так, например, точка М на «розе» получится из уравнения ρ = 4·sin 2φ; при φ = при ρ_M = - 4. Давая φ в уравнении ρ = 4·sin 2φ всевозможные (неотрицательные) значения, получим все четыре «лепестка розы».

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

   Известно, что упорядоченная пара чисел (х, у) определяет положение точки на плоскости относительно некоторой системы прямоугольных координат. Можно ввести сколько угодно различных систем прямоугольных координат, отличающихся друг от друга либо положением начала, либо направлением координатных осуй, либо масштабом на осях (различие может быть сразу в двух или трёх из перечисленных признаков).
   В различных системах координат координаты одной и той же точки различны.
   Задача определения координат точки в одной системе координат по координатам той же точки в другой системе называется задачай преобразования координат.

ПЕРЕНОС НАЧАЛА КООРДИНАТ

   Рассмотрим такое изменение прямоугольной декартовой системы координат на плоскости, при котором начало координат О переносится в товую точку О´, а направление координатных осей и масштаб остаются прежними. (Рисунок здесь)
   Упражнение. Укажите, какие из данных ниже величин изменяются при переносе начала координат (Рисунок здесь):

координаты вектора АВ длина вектора АВ координаты точки А

Выбери ответ

   Выясним, как именно меняются точки при переносе начала координат.
   Пусть (а, b) – координаты нового начала О´ в старой системе xOy, (х, у) – координаты точки М в старой системе хОу, (х´, у´) – координаты точки М в новой системе х´Оу´. Найдём соотношения между старыми и новыми координатами точки М. (Рисунок здесь)

1. Запишем координаты векторов , и : (x, y), (a, b), (x´, y´)
2. Выразим вектор через векторы и :
3. С помощью полученного равенства выразим старые координаты точки М через новые координаты: x = a + x´,
   y = b + y´.

     Последние формулы выражают старые координаты точки М через её новые координаты.

---

   Упражнение. Найдите новые координаты точек А(- 2, 4); С(3, 0); О(0, 0) после перенесения начала координат в точку О´ (5, - 2).

А	С	О	Введи ответ
(- 7, 6) (- 2, 2) (-5, 2)	(- 7, 6) (- 2, 2) (-5, 2)	(- 7, 6) (- 2, 2) (-5, 2)

---

   Найдите старые координаты точки М, если после перенесения начала координат в точку О´ (- 4, 1) её координаты стали (6, - 6).

M	Введи ответ
(2, - 5) (10, - 5) (-5, 2) (- 10, 5)

УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕНОСА НАЧАЛА КООРДИНАТ

   6Одна и та же линия в различных системах координат имеет разные уравнения. Этим обстоятельством пользуются для упрощения уравнения линии II порядка.
   Под упрощением уравнения линии второго порядка понимают

1. 1) обращение в нуль коэффициента члена, содержащего произведение ху;
2. 2) обращение в нуль коэффициентов членов первой степени;
3. 3) обращение в нуль свободного члена.

     С помощью переноса начала координат можно достич упрощение вида 2) или 3), но не 1); причём одновременно можно обратить в нуль не более двух коэффициентов.
   Пример. Линия задана уравнением x ² + 4y ² - 6x + 8y + 9 = 0.    Требуется определить вид линии и постоить её.
   Известно, что уравнение второй степени с двумя переменными определяет линию второго порядка; следовательно, данная линия является либо эллипсом, либо гиперболой, либо параболой.
   Чтобы выяснить, к какому из этих трёх видов относится данная линия, приведём её уравнение к каноническому виду. Подберём новое начало координат так, чтобы коэффициенты членов первой степени обратились в нуль. В данном уравнении заменим х и у их выражениями через новые координаты х´, y´, получающиеся при переносе начала в точку О´(a´, b´) (x + a) ² + 4(y + b) ² - 6(x + a) + 8(y + b) + 9 = 0. Раскрыв скобки, получим (x´)² + 4(y´)² + (2a - 6)x´ + (8b + 8)y´ + a² + 4b² - 6a - 6a + 8b + 9 = 0.    Найдём значения а и b, обращающие коэффициенты при х´ и y´ в нуль, откуда а = 3, b = - 1. Оказывается, начало О старой системы координат надо перенести в точку О´ (3, - 1); тогда уравнение в новой системе координат принимает вид (x´)² + 4(y´)² = 4, или (Коментарий здесь). Это уравнение является каноническим уравнением эллипса.

   Для того, чтобыпостроить эллипс в старой системе координат, нужно

1. 1) построить новую систему координат х´O´y´ в старой системе хОу.
2. 2) построить эллипс в новой системе. (Рисунок здесь)

Упражнение. Определите вид кривой x ² - y ² - 2x + 6y - 12 = 0 и постройте эту кривую.
   С помощью переноса начала координат приведите данное уравнение к каноническому виду; для этого подберите координаты (а, b) нового начала так, чтобы коэффициенты членов 1 - ой степени уравнения обратились в нуль:

1. 1) подставьте в данное уравнение x ´ + a вместо х и у ´ + b вместо у.
2. 2) раскройте скобки, сгруппируйте члены 1 - ой степени и вынесите переменные за скобки;
3. 3) коэффициенты при х´ и y´ приравняйте нулю;
4. 4) решите полученные уравнения относительно а и b;
5. 5) подставьте найденные значения a и b в уравнение пункта 2;
6. 6) перенесите свободный член последнего уравнения в правую часть;
7. 7) разделите обе части уравнения на свободный член;
8. 8) назовите вид кривой, сообветствующий последнему уравнению;
9. 9) постройте новую систему координат х´O´y´ в старой системе координат xOy.
10. 10) постройте кривую в новой системе координат.

Попробуйте выполнить преобразования по этому плану. Если будете испытывать затруднения, подсказки здесь.

---

   Вы знаете, что график квадратного трехчлена y = Ax² + Bx + C является параболой с осью, параллельной оси координат. С другой стороны, Вам известно, что при соответствующем выборе системы координат уравнение параболы имеет более простой вид у² = 2px.
   Путём переноса начала координат любое уравнение вида y = Ax² + Bx + C можно преобразовать к виду у² = 2px.

   Покажем, как выбирается новое начало. Пусть дана парабола y = Ax² + Bx + C

1.  Выразим старые координаты произвольной точки параболы через новые: x = x´ + a, y = y´ + b;
2.  В уравнении параболы заменим х и у их выражениями через новые: y´ + b = A·(x´ + a)² + B·(x´ + a) + C;
3.  Решим уравнение относительно у´. В правой части раскроем скобки и перепишем полученное выражение в виде многочлена относительно х´: y´ = A(x´)² + (2Aa + B)x´ + Aa² + Bb + C - b.

      Подберём а и b так, чтобы исчезли член с х´ в первой степени и свободный член. Для этого:

1. 1) положим коэффициент при х´ и свободный член равными нулю:
2. 2) решим полученные уравнения совместно относительно a и b:

      При этих значениях а и b коэффициент при х´ и свободный член в уравнении пункта 3 обращаются в нуль, и уравнение принимает вид у´ = A(x´)².
   Таким образом, при переносе начала координат в точку с координатами уравнение у = Аx ² + Bx + C принимает простейший вид y´ = A(x´)² или (x´)² = 2py´, где .

   Упражнение. Найдите координаты точки, в которую нужно перенести начало координат, чтобы уравнение параболы y = x ² - 2x - 3 приняло простейший вид. Начертите старую и новую системы координат и параболу. Решите задачу, не пользуясь готовыми выражениями для координат нового начала.
   Приведите подробные рассуждения, как это было сделано на странице 10.

a	b	Введи ответ
1 4 -1 -4	1 4 -1 -4

---

ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

   Рассмотрим задачу преобразования координат при повороте координатных осей, т. е. при таком изменении прямоугольной системы координат, когда обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.
   Для решения этой задачи воспользуемся полярными координатами. Совместим 1) полюс полярной системы координат с началом прямоугольной системы координат, 2) полярную ось – с положительной полуосью абсцисс. Пусть произвольная точка М(х, у) имеет полярные координаты ρ и φ. Выразим прямоугольные координаты точки М через её полярные координаты: x = ρ·cos φ,
y = ρ·sin φ.Повернём совмещённые прямоугольную и полярную системы координат на угол α. Получим новые системы координыт: 1) прямоугольную систему х₁Oy₁ и 2) полярную систему ОР₁. (Рисунок здесь).
   Какое из следующих утверждений содержит ошибку?

1. При повороте осей изменяются обе координаты х и у точки М.		Введи ответ
2. При повороте полярной оси изменяются обе координаты ρ и φ точки М.

   Обозначим новые координаты точки М в этих системах через (х₁, у₁) и (ρ, φ₁) соответственно: x = ρ·cos φ₁, y = ρ·sin φ₁.С помощью рисунка (Рисунок здесь) выразим угол φ через углы α и φ₁: φ = φ₁ + α.

   Подставим φ = φ₁ + α в x = ρ·cos φ: x = ρ·cos (φ₁ + α).Воспользовавшись формулой косинуса суммы двух углов, получим x = ρ·(cos φ₁·cos α - sin φ₁·sin α)или x = (ρ·cos φ₁)·cos α - (ρ·sin φ₁)·sin α.Поскольку ρ·cos φ₁ = x₁, ρ·sin φ₁ = y₁, то последнее соотношение примет вид x = x₁·cos α - y₁·sin α.Задание. Аналогичным образом найдите выражение для y через x₁, y₁ и α Проверьте себя, как Вы выполнили это задание.    Формулы x = x₁·cos α - y₁·sin α,
y = x₁·sin α + y₁·cos α.выражают старые координаты произвольной точки через её новые координаты при повороте координатных осей на угол α.
   формулу для у запомнить легко: в ней на первом месте – синус, на втором – косинус, а между ними знак «плюс». В формуле для х – всё наоборот: на первом месте – косинус, на втором – синус, а между ними знак «минус».
   Упражнение. Докажите, что эти формулы справедливы для всякой точки М и любого угла α поворота осей. Проверьте себя.
   Упражнение. Определите старые координаты точки М, если после поворота осей на 120° они стали (2, 4).

			Введи ответ
x
y

    Управжение. Пользуясь рисунком, выведите формулы, выражающие новые координаты произвольной точки М через её старые координаты. Для этого

1. 1) выразите x₁ и у₁ через ρ и φ₁;
2. 2) выразите φ₁ через φ и α;
3. 3) полученное выражение для φ₁ подставьте в формулы из пункта 1;
4. 4) примените формулы косинуса разности и синуса разности двух углов;
5. 5) в полученные равенства подставьте х и у вместо их выражений через полярные координаты

Вы получите искомые формулы. Проверьте себя, правильно ли Вы выполнили вычисления.

   Упражнение. Найдите новые координаты точки М (2, -4) после поворота осей на 30°.

			Введи ответ
x
y

УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ПОВОРОТА КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

   При повороте координатных осей на соответствующим образом выбранный угол можно упростить уравнение линии второго порядка, а именно, избавиться от одного из членов второй степени.
   Пример. Пусть дана линия 5x ² + 5y ² - 6xy - 8 = 0.Найдём новое уравнение этой линии после поворота координатных осей на угол α = 45°. Для этого

1. Выразим х и н через х₁ и у₁ по формулам x = x₁·cos 45° - y₁·sin 45°,
   y = x₁·sin 45° + y₁·cos 45°
   
2. Подставим в равенства из пункта 1 вместо cos α и sin α их числовые значения:
3. Подставим в данное уравнение вместо х и у их выражения из пункта 2:
4. Упростим с помощью тождественных преобразований левую часть последнего уравнения или

   Вы видите, что данная кривая есть эллипс. Построим этот эллипс в системе хОу. Для этого

• постройте систему координат хОу;
• постройте систему координат x₁Оу₁, получающуюся при повороте системы хОу на угол, равны 45°;
• постройте эллипс в системе x₁Оу₁

Вы увидите, как расположен данный эллипс по отношению к системе хОу. (Рисунок здесь)
   Упражнение. Вы знаете, что каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид x ² - y ² = a ². Найдите уравнение этой гиперболы в системе координат, оси которой совпадают с асимптотами гиперболы. (Рисунок здесь)
Подсказки