ЛЕКЦИЯ 1
К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Основные определения.
  2. Действия над матрицами.
  3. Свойства матриц.
  4. Пример.
  5. Действия с матрицами в пакете MAPLE.
  6. Матрицы и линейные преобразования.
  7. Вопросы для самопроверки.

Основные определения

 Прямоугольная таблица, состоящая из m×n чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется m×n—матрицей (или просто матрицей) и записывается так:
 (1.1)
 В матрице (1.1) числа аij называются ее элементами, первый индекс означает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых стоит элемент (i = 1, 2, …, m; j =1, 2,…, n).
 Матрица называется прямоугольной, если n ≠ m. Если же n = m, то матрица называется квадратной, а число n — ее порядком.
 Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.
 Матрица называется нулевой [ 0 ], если все ее элементы равны нулю.
 Матрица Ат, которая получается из матрицы А, если все строки матрицы заменить на соответствующие столбцы, называется транспонированной.
 Переход к матрице Ат называется транспонированием матрицы А. Для m×n матрицы транспонированной является n×m матрица. Очевидно, что (Ат)т = А.
 Матрица А называется симметричной, если она обладает свойством Ат = А.
 Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая прямая, соединяющая ее элементы, у которых оба индекса одинаковы. Эти элементы называются диагональными.
 Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.
 Размерностью матрицы называется выражение n×m, где n — число строк, а m — число столбцов матрицы.

Действия над матрицами

  1. Произведение матрицы А на произвольное число α
  2. Сумма (разность) матриц.
  3. Произведение матриц.
 Произведением матрицы А на произвольное число α называется матрица, элементами которой служат произведения элементов матрицы А на α, т. е.
 Суммой (разностью) двух одинаковой размерности m×n матриц А и B называется матрица С, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц А и В, т.е. сij=аij + bij для суммы матриц и сij = аij - bij для разности матриц (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2,…, n), где аij — элементы матрицы А, bij— элементы матрицы В
 Произведением матрицы В размерности k×s на матрицу А размерности s×n называется k×n - матрица С, элементы сij (i = 1, 2, …k; j= 1, 2, …, n) которой равны сумме произведений элементов i - ой строки матрицы B на соответствующие элементы j - го столбца матрицы A.
 (1.2)
 Произведение матриц некоммутативно: А·В ≠ В·А. Например,
Как видно A·B ≠ B·A.

Свойства матриц

  1. операция сложения матриц обладает свойством коммутативности:
    A + B = B + A,
  2. операция сложения матриц обладает свойством ассоциативности:
    A + ( B + C ) = ( A + B ) + C,
  3. существует единственная матрица такая, что если прибавить её к произвольной матрице А, то матрица А не изменится:
    A + X = A.
    Матрица, обладающая этому условию, называется нулевой и обозначается так
  4. для всякой матрицы А существует единственная матрица Y такая, что сумма этих матриц равна нулевой матрице:
    A + Y = 0.
    Естественно,
    .
     Противоположную матрицу обозначают – A =(- 1)·А.
  5. разностью двух матриц А одинакового размера называется такая матрица C, для которой справедливо равенство В + C = А. Разность всегда существует и равна А + (- В). Действительно,
    B + C = B + [A + ( - B ) ] = B + [ ( - B ) + A ] = [ B + ( - B ) ] + A = 0 + A = A.
  6. если α и β – числа, А - матрица, то справедливы соотношения
    α · ( β · A) = ( α · β ) · A = β · ( α · A).
  7. если α – число, А и В – матрицы одинаковой размерности, то справедливо равенство
    α · ( A + B ) = α ·A + α ·B.
  8. если α и β – числа, А – матрица, то справедливо равенство
    ( α + β ) ·A = α ·A + β ·A.
  9. произведение единицы на любую матрицу не изменяет эту матрицу
    1·A = A .
  10. если α – число, А и В – матрицы размерности соответственно n×m и m×k то справедливо соотношение
    α · ( A · B ) = ( α ·A ) ·B.
  11. операция умножения матриц обладает свойством ассоциативности
    A · ( B · C) = ( A ·B ) · C,
    если умножение матриц возможно,
  12. среди всех квадратных матриц существует единственная матрица такая, что её произведение на произвольную матрицу А слева или справа не изменяет матрицу А: А·Е=Е·A.
    Единичная матрица E имеет вид
     Матрица вида
    называется скалярной;
  13. умножение матриц обладает свойством дистрибутивности относительно сложения
    ( A + B ) · C = A ·C + B · C,
    C ·( A + B ) = C · A + C ·B .
 Матрицу, составленную из одного столбца или одной строки, называют арифметическим вектором
или
xT = ( x1, x2, … , xn ).
 Произведение ненулевых матриц может иметь результатом нулевую матрицу. К примеру,
.

Пример

Вычислить
2 A - ( A2 + B )T·B,
где
 Решение. Умножим матрицу А на 2:
  Возведем матрицу А в квадрат, то есть А2 = А·А:
 Сложим выражения в скобках (см. условие):
 Транспонируем полученную матрицу:
 Умножим полученную матрицу на матрицу В справа:
 Вычтем полученный результат из матрицы 2·А:
Ответ: .

Действия с матрицами в пакете MAPLE

 Задание матриц:
> with(linalg):A := matrix(3,3,[1,4,2,2,1,-2,0,1,-1]);B := matrix([[4,6,-2],[6,10,-1],[2,4,-5]]);
 Вычисление квадрата матрицы А (произведение матрица А на себя):
> evalm(A&*A);
 Произведение матрицы А на матрицу В:
> multiply(A,B);
 Транспонирование матрицы А:
> transpose(A);

 Комбинированные действия с матрицами:
> evalm(evalm(2*A)-multiply(transpose(evalm(evalm(A&*A)+B)),B));

Матрицы и линейные преобразования

Рассмотрим однородное линейное преобразование координат x1, x2, …, xn в координаты y1, y2, …, ym
. (1.3)
 Далее, пусть задано однородное линейное преобразование координат y1, y2, …, ym в координаты z1, z2, …, zk
.  (1.4)
Тогда преобразование переменных {xi}i = 1,n к переменным {zs}s = 1,k будет выражаться тоже линейным однородным преобразований соотношением
,  (1.5)
где
.  (1.6)
Соотношение (1.6) полностью соответствует правилу (1.2) нахождения элементов произведения матриц C = B·A.
 В матричных обозначениях соотношение (1.3) может быть представлено в виде Y = A·X, соотношение (1.4) в виде Z = B·Y, соотношение (1.5) может быть представлено в виде Z = C·X, где С = B·A.
 Все остальные вышеперечисленные правила и определения могут быть представленыы в терминах линейным однородным преобразований.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется матрицей?
  2. Какая матрица называется прямоугольной?
  3. Какая матрица называется квадратной?
  4. Что называется размерностью матрицы?
  5. Что значат индексы у элементов матрицы?
  6. Какие матрицы называются равными?
  7. Какое ограничение должно быть на размерности складываемых матриц?
  8. Какое ограничение должно быть на размерности умножаемых матриц?
  9. Что называется транспонированием матрицы?
  10. Что называется главной диагональю матрицы?
  11. Какие элементы матрицы называются диагональными?
  12. Какая матрица называется единичной?
  13. Как умножить число и матрицу?
  14. Как сложить две матрицы?
  15. Как перемножить две матрицы?
  16. Как задать матрицы в математическом пакете MAPLE?
  17. Как выполнить сложение и умножение матриц в математическом пакете MAPLE?