ЛЕКЦИЯ 12К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Общее уравнение линии второго порядка.
  2. Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
  3. Инварианты линии второго порядка.
  4. Классификация линий второго порядка.
  5. Примеры..
  6. Вопросы для самопроверки.

Общее уравнение линии второго порядка

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
А·х2 + 2·В·х·у + С·у2 + 2·D·x + 2·E·y + F = 0, (12.1)
где, коэффициенты A, B, C, D, E, F – любые не равные нулю одновременно числа и, кроме того, то есть А2 + В2 + С2 ≠ 0.

Приведение уравнения линии второго порядка к простейшему виду

 Пусть в прямоугольной системе координат Оxy задано уравнение (12.1) и пусть А·С – В2 ≠ 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (12.1) приводится к виду
A'·x''2 + C'·y''2 + F' = 0,(12.2)
где А', С', F' — некоторые числа; (х''; y'') – координаты точки в новой системе координат.
 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямоугольная система координат О'х'y' получена параллельным сдвигом осей Ох и Оy, причем начало координат перенесено в точку О'(х0; y0). Тогда старые координаты (х; у) будут связаны с новыми (х'; у') формулами х = х' + х0, у = у' + у0. В новых координатах уравнение (12.1) принимает вид:
A·x'2 + 2·B·x'·y' + C·y'2 + 2·D'·x' + 2·E'·y' + F' = 0,(13.3)
где
D' = A·x0 + B·y0 + D; E' = B·x0 + C·y0 + E; F' = A·x02 + 2·B·x0·y0 + C·y02 + 2·D·x0 + 2·E·y0 + F.
В уравнении (12.3) коэффициенты D' и Е' обращаются в нуль, если подобрать координаты точки (х0; у0) так, чтобы выполнялись равенства
(12.4)
Так как А·С – В2 ≠ 0, то система (12.4) имеет единственное решение относительно х0 , у0. Если пара чисел х0, у0 представляет собой решение системы (12.4), то уравнение (12.3) можно записать в виде
А·х'2 + 2·В·х'·у' + С·у'2 + F' = 0.(12.5)
Пусть теперь прямоугольная система координат О'х''у'' получена поворотом системы О'х'у' на угол α. Тогда координаты х', у' будут связаны с координатами х'', у'' формулами
х' = х'' ·cos α − y''· sin α , y' = x'' ·sin α + y'' ·cos α.
В системе координат О'х''у'' уравнение (12.5) принимает вид
А'·х''2 + 2·В'·х''·у'' + С'·у''2 + F' = 0,(12.6)
где
А' = А·cos2α + 2·B·cosα·sinα + C·sin2α;
B' = - A ·sin α· cos α + B ·(cos2α – sin2 α) + C· sin α ·cos α;
C' = A ·sin2 α − 2·B ·cos α· sin α + C ·cos2 α.
Выберем угол α так, чтобы коэффициент В' в уравнении (12.6) обратился в нуль. Это требование приводит к уравнению
2·В·cos 2α = (A – C)· sin 2α
относительно α . Если А = С, то cos2α = 0 и можно положить α = π/4. Если же А ≠ С, то выбираем
и уравнение (12.6) принимает вид
A'·x''2 + C'·y''2 + F' = 0,
что и требовалось доказать.
 З а м е ч а н и е. Система (12.4) определяют центр линии второго порядка. Заметим, что необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы (12.4) является отличие от нуля числа Δ = A·С – В2, называемого определителем системы.

Инварианты линии второго порядка

 Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (12.1) при параллельном переносе осей координат, как следует из доказательства леммы, не меняются, но они меняются при повороте осей координат.
 Докажем, что выражение А·B - C2 остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей, то есть не зависит от преобразования координат. Действительно, при параллельном переносе этот факт очевиден [см. формулы (12.1) и (12.5)]; проверим его при повороте осей. Для этого воспользуемся выражениями для коэффициентов А', В' и С' уравнения (12.6)
Раскрывая скобки и приведя подобные члены, получим
А'·С' − В'2 = А·С·(cos2α + sin2α)2 − В2(cos2α + sin2α)2 = А·С – В2,
что и требовалось показать.
 Величина А·C − B2 называется инвариантом общего уравнения линии второго порядка. Она имеет важное значение в исследовании линий второго порядка.

Классификация линий второго порядка

 В зависимости от знака величины А·С – В2 линии второго порядка разделяются на следующие три типа
  1. эллиптический, А·C – В2 > 0.
  2. гиперболический,А·C – В2 < 0.
  3. параболический,А·C – В2 = 0.

Эллиптический тип

 Согласно лемме, общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду (для удобства записи опускаем штрихи у коэффициентов и координат)
А·х2 + С·у2 + F = 0..
Поскольку А·С – В2 > 0, то возможны следующие случаи:
  1. А > 0, C > 0 (случай A < 0, C < 0 сводится к случаю A > 0, C > 0 умножением уравнения на ( – 1) и F < 0. Перенесем F в правую часть уравнения и разделим на него. Уравнение принимает вид
    канонического уравнения эллипса, где а2= − F/A, b = − F/C.
  2. A > 0, C > 0 и F > 0. Тогда, аналогично предыдущему, уравнение можно привести к виду
    Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.
  3. A > 0, C > 0, F = 0. Уравнение имеет вид (а2 = А, с2 = С): а2·х2 + с2·y2 = 0. Ему удовлетворяют координаты только одной точки х = 0, у = 0. Такое уравнение назовем уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.

Гиперболический тип

 Согласно лемме, общее уравнение линии второго порядка приводится к виду А·х2 + С·у2 + F = 0.
 Если А > 0, C < 0 (случай A < 0, C > 0 сводится к случаю A > 0, C < 0 умножением уравнения на (– 1) и F ≠ 0. Пусть, например, F< 0. Перенесем F в правую часть уравнения и разделим на него. Уравнение принимает вид
,
где а2 = F/A, b2 = F/C. Полученное уравнение является каноническим уравнением гиперболы.
 Если A > 0, C < 0, F = 0, то уравнение имеет вид (а2 = А, с2 = − С): а2·x2−с2·у2 = 0 или (а·х – с·у)·(а·x + b·y) = 0. Последнему уравнению удовлетворяют только координаты точек плоскости, расположенных на прямых а·x + b·y =0, а·x - b·y =0, пересекающихся в начале координат, и, таким образом, в этом случае имеем пару пересекающихся прямых.

Параболический тип

 Если А·С – В2 = 0, то, как и в лемме, поворотом осей координат на такой же угол α общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду
А·х2 + С·у2 + 2·Е·у + 2·D·x + F = 0. (12.7)
Здесь А·С = 0 и, следовательно, один из коэффициентов А или С равен нулю. Пусть А = 0, С ≠ 0. Представим уравнение (12.7) в виде
или
где F * = F – E2. Перенесем начало координат параллельно оси Оу в точку (0, - Е/С), то есть перейдем к новым координатам по формулам х' = х, у' = у + Е/С. Получаем уравнение С·у'2 + 2·D·x' + F* = 0. Если D ≠ 0. Запишем уравнение в виде
.
 Перенесем теперь начало координат параллельно оси Ох' в точку (- F*/2D; 0), перейдем к новым координатам по формулам х'' = х' + F*/2D, у'' = у'. Получаем уравнение С·(у'')2 + 2·D·x'' = 0, или у''2 = 2·p·х'', где введено обозначение р = - D/С. Последнее уравнение является каноническим уравнением параболы.
 Если же D = 0, то уравнение имеет вид
С·у'2 + F* = 0.
 Если С и F* имеют разные знаки, то, полагая F* ⁄ C = a2, уравнение можно записать в виде (у' + а)·(y' + a) = 0 Это уравнение определяет пару параллельных прямых.
 Если С и F* имеют одинаковые знаки, то уравнение принимает вид у'2 + а2 = 0.Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мнимых параллельных прямых.
 Если F* = 0, то уравнение принимает вид у'2 = 0 и определяет ось О'х'. Это уравнение можно рассматривать как предельный случай при F*→0, то есть как уравнение пары совпадающих прямых.

Пример

 Привести уравнение x2 - 6·x·y + y2 − 4·x − 4·y + 12 = 0 к каноническому виду и построить график этой линии.
 Решение. Здесь А = 1, В = − 3, С = 1. Поэтому
A·C - B2 = − 8 < 0
и линия имеет гиперболический тип. Выполним преобразование сдвига
Раскрыв скобки, получим

Решив систему уравнений
получим координаты точки х0 = − 1, у0 = − 1, в которую необходимо совершить параллельный сдвиг начала системы координат. В новой системе координат линия будет иметь уравнение
 Выполним поворот системы координат на угол α по формулам
х' = x'' ·cos α − y'' · sin α , y' = x'' ·sin α + y'' ·cos α.
В этом случае уравнение линии примет вид
Для того чтобы в уравнении линии не было смешанного произведения переменных, положим . В этом случае уравнение линии примет вид или в каноническом виде уравнение гиперболы


Вопросы для самопроверки

  1. Какой вид имеет общее уравнение линии второго порядка?
  2. Какими двумя преобразованиями и в какой последовательности упрощается общее уравнение линии второго порядка?
  3. Как находится начало координат, в которое переходит начало координат исходной системы координат при параллельном сдвиге?
  4. Как находится угол поворота промежуточной системы координат для дальнейшего упрощения уравнения?
  5. К каким основным случаям приводится общее уравнение линии второго порядка, и при каких условиях?
  6. Найдите координаты точки, лежащей на окружности х2 + y2 = 1 и одинаково удаленной от точек (1; 3) и (- 2; 2).
  7. Найдите уравнение касательной к окружности х2 + у2 = 5, проходящей через точку (1; 2).
  8. Составьте уравнение общей хорды окружностей х2 + у2 = 2·α·x и х2 + у2 = 2·β·y (α ≠ 0, β ≠ 0).
  9. Составьте уравнения общих касательных к окружностям х2 + у2 = 6·x и х2 + у2 = 6·y.
  10. Составьте уравнение параболы, проходящей через точку (6; 9), с вершиной в начале координат и осью симметрии Оу.
  11. Ординаты точек окружности х2 + y2 = 36 уменьшены в два раза. Найдите уравнение полученной кривой.
  12. Найдите уравнение диаметра окружности х2 + у2 + 4·x - 6·y − 17 = 0 , перпендикулярного прямой 5·x + 2·y − 13 = 0.
  13. Найдите наименьшее из расстояний от точки М0(− 7; 2) до точек окружности х2+ у2 − 10·x − 14·y − 151 = 0.
  14. Определите, пересекает ли заданная прямая L данную окружность Г, касается ее или проходит вне ее:
    1. L 2·x − y − 3 = 0; Г: x2 + y2 − 3·x + 2·y − 3 = 0.
    2. L: x − 2·y − 1 = 0; Г: x2 + y2 − 8·x + 2·y + 12 = 0.
    3. L: x − y + 10 = 0; Г: x2 + y2 − 1 = 0.