ЛЕКЦИЯ 14 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Векторное уравнение прямой линии в пространстве.
  2. Параметрическое уравнение прямой линии.
  3. Каноническое уравнение прямой линии в пространстве.
  4. Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через две заданные точки.
  5. Общее уравнение прямой линии в пространстве.
  6. Преобразование общего уравнения прямой линии к каноническому и параметрическому виду.
  7. Взаимное расположение прямой и плоскости.
  8. Пример.
  9. Угол между прямой и плоскостью.
  10. Расстояние точки до прямой линии в пространстве.
  11. Решение задач на плоскость в пространстве в пакете MAPLE.
  12. Вопросы для самопроверки.

Векторное уравнение прямой линии в пространстве

  Пусть дана точка М0(х0, у0, z) (опорная точка прямой) и направляющий вектор р (l, m, n). Составить в векторном виде уравнение прямой линии, проходящей через точку М0 в направлении вектора р. Пусть М (х, у, z) - текущая точка прямой. Тогда векторы M0M и p коллинеарны. По условию коллинеарности векторов можно записать
, (- ∞ < t < + ∞) (13.1)
и представить соотношение (13.1) в виде
, (- ∞ < t < + ∞) (13.2)
Уравнение (13.2) является уравнением прямой линии в векторном параметрическом виде.

Параметрическое уравнение прямой линии

  Векторное уравнение (13.2) в координатной форме представляется следующим образом
(13.3)

Каноническое уравнение прямой линии в пространстве

  Исключив t из уравнения (13.3), разрешив их сначала относи-тельно t, а затем, приравняв правые части равенств, имеем:
(13.4)
Если какая – либо координата направляющего вектора равна нулю, то равен нулю и числитель дроби.

Уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через две заданные точки

  Пусть заданы две точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2), через которые должна проходить прямая линия. Примем за направляющий вектор прямой вектор
.
Поэтому уравнение (13.4) примет вид
.

Общее уравнение прямой линии в пространстве

  Прямая в пространстве может быть задана также как пересечение двух плоскостей, если плоскости не параллельны:
Все формы задания прямой в пространстве взаимосвязаны.

Преобразование общего уравнения прямой линии к каноническому и параметрическому виду

  Преобразовать прямую линию
заданной в общем виде, к канонической и параметрической форме. Для этого необходимо найти какую – нибудь точку, через которую проходит прямая линия (опорную точку). Пусть эта точка имеет координату (х, у, 0). Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой, и система примет вид
Эта система имеет решение
.
Итак, опорная точка имеет координаты
.
Найдём направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов плоскостей:
.
Каноническое уравнение прямой имеет вид . Если обозначить общее значение этих дробей величиной t,
то рассматривая каждое равенство в отдельности , , , получим уравнение прямой линии в параметрической форме

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пример

  Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую линию
и точку М1(2, 3, 5).
  Решение. Пусть М (х, у, z) - текущая точка плоскости. В таком случае векторы M0M = (x − 1, y + 1, z − 2), M0M1 = (3, 2, 7) и p = (2, 0, − 1) компланарны. Запишем условие компланарности этих векторов в координатной форме
и разложим этот определитель по первой строчке
− 2 ( x - 1) + 17 ( y + 1) − 4 (z − 2) = 0.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим искомое уравнение плоскости
− 2 x + 17 y − 4 z + 27 = 0..

Угол между прямой и плоскостью

  Углом между прямой линией
и плоскостью
A x + B y + C z + D = 0
называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Выражая синус угла между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой, получим
.
Угол между прямой и плоскостью найдём из соотношения
.

Расстояние точки до прямой линии в пространстве

  Пусть дана точка M1 ( x1, y1, z1 ) и прямая (13.2) . Найти расстояние точки до прямой в предположении, что точка M1 не лежит на прямой.
  Проведём через пряму и точку M1 плоскость, в этом случае r × p = b, где b – некоторый постоянный вектор, перпендикулярный плоскости. В данном случае , или
.  (13.4)
Из соотношения (13.4) следует
.  (13.5)
Из определения скалярного произведения имеем из соотношения (13.5)
.  (13.6)
В соотношении (13.6) и это соотношение перепишется в виде
,
откуда находим соотношение для нахождения расстояния заданной точки от заданной прямой
.  (13.7)
  Соотношение (13.7) преобразуем к более удобному для применения виду: возводя обе части (13.7) в квадрат и преобразуя, получим
,
откуда окончательно имеем
.  (13.8)
Формулу (13.8) можно получить по теореме Пифагора:
.
  П р и м е р. Найти расстояние вершины B1 куба ABCDA1B1C1D1c единичным ребром до диагонали AC1.
  Р е ш е н и е. Начало координат поместим в точку А, координатные оси направим по рёбрам куба. В этом случае имеем B1 ( 0, 1, 1 ), p (1, 1, 1 ), M0 (0, 0, 0). Теперь по формуле (13.8) находим расстояние
.

Решение задач на плоскость в пространстве в пакете MAPLE

>restart:with(geom3d):point(A,[-1,2,2]):point(B,[-3,-1,-2]):line(l1,[A,B]):Equation(l1,'t'); – уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в параметрической форме

[-1-2t, 2-3t, 2-4t]

>restart:with(geom3d): plane(p1,x+2*y+z=-2,[x,y,z]):plane(p2,2*x+3*y+z=-2,[x,y,z]): line(l1,[p1,p2]):Equation(l1,'t');– преобразование общего уравнения прямой к параметрической форме

[2-t, -2+t, -t]

Вопросы для самопроверки

  1. Какой вид имеет векторное уравнение прямой линии?
  2. Какой вид имеет параметрическое уравнение прямой линии в пространстве?
  3. Какой вид имеет каноническое уравнение прямой линии в пространстве?
  4. Какой вид имеет уравнение прямой линии в пространстве проходящей через две заданные точки?
  5. Что понимается под общим уравнением прямой линии в пространстве?
  6. Как общее уравнение прямой линии в пространстве преобразовать к каноническому виду?
  7. Как установить перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве?
  8. Как установить параллельность прямой и плоскости в пространстве?
  9. Как найти угол между прямой и плоскостью в пространстве?
  10. Как установить принадлежность прямой плоскости?