ЛЕКЦИЯ 15 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Эллипсоид.
  2. Однополостный гиперболоид.
  3. Двуполостный гиперболоид.
  4. Эллиптический параболоид.
  5. Гиперболический параболоид.
  6. Эллиптический конус.
  7. Цилиндрическая поверхность.
  8. Эллиптический цилиндр.
  9. Гиперболический цилиндр.
  10. Параболический цилиндр.
  11. Вопросы для самопроверки.

Эллипсоид

     Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Из этого уравнения следует | x | < a, | у | < b, | z | < c, то есть эллипсоид заключён в прямоугольный параллелепипед со сторонами 2·а, 2·b, 2·c. Коорди-натные плоскости являются плоскостями симметрии.
Если рассечь поверхность плоскостями z = h (| z | < с), получим кривые с уравнениями , z = h. Это эллипсы с полуосями и . При h = 0 эллипс имеет наибольшие полуоси. Когда | h | растёт, то полуоси эллипсов уменьшаются и при | h | = c эллипсы вырождаются в точки А1(0; 0; с) и А2(0; 0; − с).
 Аналогичная картина возникает, если рассекать эллипсоид плос-костями, перпендикулярными к оси Ох и Оу.

Однополостный гиперболоид

 Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид
.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, так как при замене х на − х, у на − у, z на − z уравнение не меняется.
Если рассечь поверхность плоскостями z = h, получим кривые с уравнениями , z = h, (- ∞ < h < + ∞). Получили уравнение эллипса с полуосями и . При h = 0 эллипс имеет наименьшие полуоси, он носит название горлового. Когда | h | растёт, то полуоси эллипсов растут вместе с h. Сечения плоскостями х = 0, у = 0 представляют собой гиперболы
, .
Точки этих гипербол являются вершинами эллипсов, получаемых при сечении поверхности плоскостями z = h.

Двуполостный гиперболоид

Каноническое уравнение вуполостного гиперболоида имеет вид
.
 Координатные плоскости являются плоскостями симметрии: при замене х на − х, у на − у, z на − z уравнение не меняется.
 Если рассечь поверхность плоскостями z = h ( | z | ≥ c ), получим эллипсы с уравнениями , z = h,
(- c < h < + c). При - c < h < + c имеем мнимые эллипсы. Следовательно, поверхность расположена ниже плоскости z = − с и выше плоскости z = + с.
При | h | ≥ с получаются вещественные эллипсы с полуосями и , которые растут с ростом | h |. Сечения плоскостями х = 0, у = 0 представляют собой сопряжённые гиперболы
, .
Точки этих гипербол являются вершинами эллипсов, получаемых при сечении поверхности плоскостями
z = h (| h | ≥ с).

Эллиптический параболоид

     Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид
.
Координатные плоскости Оyz и OXZ являются плоскостями симметрии: при замене х на - х, у на - у уравнение не меняется. Поверхность проходит через начало координат и расположена над плоскостью Оху, так как z ≥ 0.
При сечениях z = h получаются эллипсы
,
полуоси которых , растут с ростом h. При сечении плоскостями х = 0 и у = 0 получаются параболы , , точки которых являются вершинами указанных выше эллипсов.

Гиперболический параболоид

 Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид
.
 Координатные плоскости Оyz и OXZ являются плоскостями симметрии: при замене х на − х, у на − у уравнение не меняется.
При сечении поверхности плоскостью х = 0 в сечении получается парабола
.
При сечении поверхности плоскостью у = 0 в сечении получается парабола
.
При сечении поверхности плоскостью z = 0 в сечении получается пара пересекающихся прямых
.
Сечение плоскостями z = h даёт гиперболы с уравнениями
.
При h > 0 ветви гипербол расположены вдоль оси Ох, при h < 0 ветви гипербол расположены вдоль оси Оу.

Эллиптический конус

     Каноническое уравнение эллиптического конуса имеет вид
.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии: при замене х на - х, у на - у, z на - z уравнение не меняется.
 Если рассечь поверхность плоскостями z = h (| z | ≤ с), получим эллипсы с уравнениями ,
z = h, (- ∞ < h < + ∞), с полуосями .
Полуоси эллипсов растут с ростом | h |. При h = 0 сечение вырождается в точку (начало координат). В сечении плоскостями х = 0 и у = 0 получаются пары прямых и .

Цилиндрическая поверхность

     Цилиндрической поверхностью называется поверхность, полученная движением прямой (образующей), перемещающейся параллельно некоторому вектору и пересекающей во время движения фиксированную линию (направляющую). Уравнение F(x, y) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Oz. Уравнение F(x, z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Oу. Уравнение F(у, z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси Oх.
 Уравнение общей цилиндрической поверхности определяется системой уравнений
Исключим в этой системе переменные x, y, z. В результате получим уравнение искомой цилиндрической поверхности F(x, y, z) = 0. Здесь уравнение направляющей определяется системой уравнений
Уравнение определяет уравнение образующей.

Эллиптический цилиндр

        Уравнение эллиптического цилиндра имеет вид
.

Гиперболический цилиндр

        Уравнение гиперболического цилиндра имеет вид
.

Параболический цилиндр

        Уравнение гиперболического цилиндра имеет вид
y2 = 2 p x.

Вопросы для самопроверки

  1. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида?
  2. Что собой представляет эллипсоид?
  3. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостный гиперболоид?
  4. Что собой представляет однополостный гиперболоид?
  5. Какой вид имеет каноническое уравнение двуполостного гиперболоида?
  6. Что собой представляет двуполостный гиперболоид?
  7. Какой вид имеет каноническое уравнение эллиптического параболоида?
  8. Что собой представляет эллиптический параболоид?
  9. Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболического параболоида?
  10. Что собой представляет гиперболический параболоид?
  11. Какой вид имеет каноническое уравнение эллиптического конуса?
  12. Что собой представляет эллиптический конус?
  13. Какая поверхность называется цилиндрической?
  14. Что называется направляющей цилиндрической поверхности?
  15. Что называется образующей цилиндрической поверхности?
  16. Какие переменные входят в уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси Oх?
  17. Какие переменные входят в уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси Oу?
  18. Какие переменные входят в уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси Oz?
  19. Запишите уравнение и представьте графически эллиптический, гиперболический, параболический цилиндры с образующими, параллельными какой – либо координатной оси.