ЛЕКЦИЯ 2
К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Инверсия.
  2. Определение определителя n –го порядка.
  3. Определители второго порядка.
  4. Определители третьего порядка.
  5. Свойства определителей.
  6. Алгебраические дополнения.
  7. Правило Крамера.
  8. Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
  9. Применение математического пакета MAPLE.
  10. Вопросы для самопроверки.

Инверсия

  Инверсией называют случай, когда большая цифра стоит перед меньшей в некоторой перестановке натуральных чисел:
[1234]=0, [1423]=2, [4312]=5, [63412]=8.
  Если инверсия четная, то перестановка называется чётной, в противном случае называется нечётной. Соответствующие перестановки цифр называются четными и нечетными.

Определители

   Определителем квадратной матрицы называется результат следующих действий:
  1. Берется по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы, и они перемножаются.
  2. Это произведение умножается на ( - 1)σ + ν, где σ– число инверсий первых индексов, ν–число инверсий вторых индексов элементов матрицы в произведении.
  3. Эти произведения складываются по всевозможному выбору элементов.
.

Определитель второго порядка

Числовой пример:

Определители третьего порядка


Свойства определителей

  1. Если в определителе есть нулевая строка или нулевой столбец, то определитель равен 0.
  2. При транспонировании определитель не меняет свое значение.
  3. Если в определителе поменять местами две какие-либо строки или столбца, то знак определителя поменяется:
  4. Если в определителе имеется две одинаковых строки или столбца, то определитель равен 0.
  5. Общий множитель элементов какой-либо строки или какого-либо столбца можно вынести за знак определителя
  6. Если в определителе есть пропорциональные строки, или столбцы, то определитель равен 0.
  7. Определитель не меняет свое значение, если к любой строчке прибавить любую другую, умноженное на любое число.

Алгебраическое дополнение

  Если из определителя вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых находится элемент aij, из оставшихся элементов образовать определитель; умножить его на (- 1)i + j, то результат называется алгебраическим дополнением элемента aij.
  Для определителя
имеем, например,
  1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов:
    Например, непосредственным вычислением получим
    .
    Если определитель вычислить по свойству 6:
    то получим тот же результат.
  2. Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки равена нулю:
    .

Правило Крамера

  Система вида
называется линейной системой алгебраических уравнений. Элементы aij называются коэффициентами, bi – свободными величинами системы.
   Если система уравнений имеет решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.
   Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, в противном случае неопределённой.
    Если Δ ≠ 0, то система уравнений совместна и определена. Решение системы в этом случае находится в виде
где
– главный определитель системы. Величины Δ1, Δ2,…, Δn получаются из главного определителя заменой соответствующих столбцов на столбец свободных членов.
  Доказательство. Умножим каждое уравнение системы
на алгебраические дополнения, к примеру, k - го столбца и сложим:
Последнее соотношение можно представить в виде
Используя свойства определителя
получим

Пример решения системы методом Крамера

  Решить систему алгебраических уравнений
Найдём главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных:
Так как главный определитель не равен нулю, то решение существует, и при том единственное. Найдём дополнительные определители:
,
,
Решение системы найдём по формулам Крамера:
Подставляя найденные значения неизвестных в систему, получим тождества:
Так что, решение найдено верно.
Ответ.

Применение математического пакета MAPLE при решении системы линейных алгебраических уравнений

> with(linalg);
> Det(F)— вычисление определителя матрицы F
> eqns:= {x+5*y-z=1,-x+y=5,x+z=7}; — задаётся система линейных алгебраических уравнений.
> sols: = solve(eqns);— решается указанная система относительно своих неизвестных.
sols:={x= -17/7, y = 18/7, z = 66/7}
> subs(sols, eqns); — проверяется решение подстановкой в первоначальную систему. Как видим, получаются тождества.
{7 = 7, 5 = 5, 1 = 1}
> linsolve(A,B); – решение системы линейных алгебраических уравнений А·Х=В, где А — матрица, а В — матрица – столбец свободных членов системы.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называют перестановкой?
  2. Что называют инверсией перестановки?
  3. Какая перестановка называется чётной, а какая называется нечётной?
  4. Дайте определение определителя n-го порядка.
  5. Дайте упрощённые формулы вычисления определителей второго и третьего порядков.
  6. Перечислите свойства определителей.
  7. В каких случаях определитель равен нулю?
  8. При каких преобразованиях элементов определителя последний не меняет своего значения?
  9. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?
  10. Что понимается под разложением определителя по строке или столбцу?
  11. Какие два свойства определителя используются при доказательстве правила Крамера?
  12. Как формулируется правило Крамера?
  13. Как в математическом пакете MAPLE вычислить определитель, решить систему линейных алгебраических уравнений и сделать проверку?