ЛЕКЦИЯ 3
К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
  2. Определение обратной матрицы.
  3. Построение обратной матрицы.
  4. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
  5. Нахождение обратной матрицы математическом пакете MAPLE.
  6. Вопросы для самопроверки.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

 Метод Гаусса является алгоритмом последовательного исключения. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырёх уравнений с четырьмя неизвестными
                     (3.1)
Пусть а11 ¹ 0 (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (3.1) на а11, получим где
Пользуясь уравнением (3.2) можно исключить из системы (3.1) неизвестную х1. Для этого достаточно из второго уравнения системы (3.1) вычесть уравнение (3.2), умноженное на а21, из третьего уравнения системы (3.1) вычесть уравнение (3.2), умноженное на а31, и т. д. В результате получим систему из трёх уравнений
                     (3.3)
где коэффициенты системы вычисляются по формуле
Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы (3.3) на ведущий элемент , получим уравнение
,                      (3.4)
где
Исключая теперь х2 таким же способом, каким было исключено х1, придём к следующей системе уравнений:
,                      (3.5)
где . Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы (3.5) на ведущий элемент , получим уравнение
,                      (3.6)
где . Исключая теперь х3 аналогичным путём из системы (3.5) будем иметь:
,                      (3.7)
где . Из (3.7) найдём
                     (3.8)
Остальные неизвестные последовательно определяются из уравнений (3.2), (3.4), (3.6):
Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (3.2), (3.4), (3.6), (3.8), имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех «ведущих элементов». Вычисления удобно поместить в таблицу. Приведённая в ней схема называется схемой единственного деления. Процесс нахождения коэффициентов
треугольной системы обычно называется прямым ходом, процесс получения значений неизвестных — обратным ходом.
Прямой ход начинается с выписывания коэффициентов системы, включая свободные члены (раздел А). Последняя строка раздела А схемы представляет собой результат деления первой строки раздела на «ведущий элемент» а11. Элементы
следующего раздела схемы (раздел А1) равны соответствующим элементам aij предшествующего раздела без произведения их «проекций» на ряды раздела А, содержащие элемент 1 (т. е. первый столбец и первую строку). Последняя строка раздела А1 находится путём деления первой строки раздела на «ведущий элемент»
Аналогично строятся следующие разделы. Прямой ход заканчивается, когда доходят до раздела, состоящего из одной строки, не считая преобразованной (раздел А3).
При обратном ходе используются лишь строки разделов Аi, содержащие единицы (отмеченные строки), начиная с последней. Элемент
раздела А3, стоящий в столбце свободных членов отмеченной строки раздела, даёт значение х4. Далее, все остальные неизвестные xi(i = 3, 2, 1) шаг за шагом находятся с помощью вычитания из свободного члена отмеченной строки суммы произведений её коэффициентов на соответствующие значения ранее найденных неизвестных. Значения неизвестных последовательно выписываются в последний раздел В. Расставленные там единицы помогают находить для х соответствующие коэффициенты в отмеченных строках.

Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений


x1x2x3x4bРазделы схемы
12- 18- 8 А
3- 21- 16
61- 3214
-2- 214- 19
1 2 - 1 8 -8
0-84- 2530 А1
0-113- 4662
02- 120- 35
 1- 0,53,125-3,75
 0- 2,5- 11,62520,75А2
  0013,75-27,5
   1 4,65 - 8,3
  013,75-27,5А3
   1-2
   1-2В
  1 1
 1  3
1   3
Определитель системы275    

Ответ: решением системы будет х1 = 3; х2 = 3; х3 = 1; х4 = - 2.

Определение обратной матрицы

 Рассмотрим линейное преобразование
  (3.9)
Будем рассмотривать соотношение (3.9) как систему n уравнений относительно n неизвестных xi, i = 1, 2, …, n. Система (3.9) имеет единственное решение, если определитель
не равен нулю. По правилу Крамера
,   (3.10)
где
.   (3.11)
Разложим (3.10) по i - ому столбцу
.   (3.12)
С учётом (3.12) соотношение (3.10) примет вид
.   (3.13)
Матрица обратного преобразования (3.13) имеет вид
.   (3.14)
Матрица (3.14) обратного преобразования (3.13) называется обратной, и обозначается
.

 Матрица A-1 называется обратной для матрицы A, и для них выполняются соотношения A·A-1 = A-1·A = Е2. Эту запись не следует понимать как степень с отрицательным показателем, действие деления для матриц не определено. Это просто обозначение и не более того.

Построение обратной матрицы

 Теорема. Для каждой неособенной квадратной матрицы существует обратная, и притом только одна. Для особенной квадратной матрицы обратная матрица не существует.
 Вышеприведённые построения представляет доказательство этой теоремы.
 Для того, чтобы построить обратную матрицу, необходимо
  1. Найти определитель матрицы. Если этот определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.
  2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы: А11, А12, … ,Аnn
  3. Из этих алгебраических дополнений построить матрицу в соответствии с указанными индексами
  4. Транспонировать указанную матрицу
  5. Разделив матрицу эту матрицу на определитель матрицы
    Δ = det A
    получим обратную матрицу
 Проверим условие, которому должна удовлетворять обратная матрица
 Докажем, что для особенной матрицы обратная матрица не существует. Если бы такая матрица существовала, то из равенства А·А- 1 = Eследовало бы, что
| A |·| A-1 |= 1
Но это равенство для особенной матрицы невозможно, поскольку при | A | = 0 левая часть равна нулю, а правая – единице. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

 Систему линейных алгебраических уравнений
посредством введения матричных обозначений
, ,
и правил действия над матрицами можно представить в матричном виде A·X = B. Умножим это матричное уравнение на обратную матрицу А-1 слева:
A-1·A·X = A-1·B
По свойству обратной матрицы A-1·A = E имеем далее
A-1·A·X = E·X = X = A-1·B
 Таким образом, для того чтобы найти вектор решения системы линейных алгебраических уравнений, необходимо вектор – столбец свободных элементов системы умножить слева на обратную матрицу коэффициентов системы.
 Обратные матрицы имеют свойства
  1. 1) (A-1)-1 = A,
  2. 2) (A·B)-1 = B-1·A-1,
  3. 3) (A1·A2·…·An)-1 = An-1·…·A2-1·A1-1,
  4. 4) A-m = (A-1)m,
  5. 5) (A-1)т = (Aт)-1

Нахождение обратной матрицы и матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений в математическом пакете MAPLE

> linalg:inverse(A); –находится обратная матрица для А при использовании библиотеки linalg:
>M:=matrix(4,4,[3,-2,1,-1,6,1,-3,2,-2,-2,1,4,1,2,-1,8]); B:= matrix(4,1,[6,14,-19,-8]); X:=linsolve(M,B); – находится решение системы линейных алгебраических уравнений с матрицей системы М и столбцом свободных величин В.
> with(linalg):A := matrix(3,3,[-3,4,-2,1,0,1,6,-6,5]);
> charpoly(A,x); – нахождение характеристического уравнения матрицы:
> e := eigenvalues(A); — нахождение собственных значений матрицы:
> v := [eigenvectors(A)]; — нахождение собственных значений матрицы, кратности собственных значений, собственных векторов, соответствующих этим собственным значениям:

Вопросы для самопроверки

  1. Какие элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений используются в методе Гаусса?
  2. Как меняют эти элементарные преобразования решение системы линейных алгебраических уравнений?
  3. Из скольких частей состоит метод Гаусса?
  4. Какие имеются ограничения в применении метода Гаусса?
  5. Что называется обратной матрицей?
  6. Приведите алгоритм построения обратной матрицы.
  7. Какому условию должна удовлетворять матрица, чтобы для неё существовала обратная матрица?
  8. Как найти обратную матрицу в математическом пакете MAPLE?