ЛЕКЦИЯ 4
К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Определение и основные свойства линейного преобразования.
  2. Определение собственного вектора матрицы.
  3. Характеристическое уравнение матрицы.
  4. Нахождение собственных векторов матрицы.
  5. Найти координаты вектора х в базисе е'1, е'2, … , е'n, если он задан в базисе е1, е2, … , еn.
  6. Вопросы для самопроверки.

Определение и основные свойства линейного преобразования

  Пусть Vn линейное n – мерное пространство. Пусть задано правило, которое ставит в соответствие произвольному вектору х пространства Vn определённый вектор у этого же пространства. Вектор х называется прообразом, а вектор у – образом вектора х. Это правило называется преобразованием пространства Vn или оператором, заданным в пространстве Vn. Операторы условно будем обозначать буквами А, В, …:
А(х) = у(4.1)
читается так: оператор А применённый к вектору х, ставит ему в соответствие вектор у.
  Оператор А называется линейным, если выполнены условия
А(х + у) = А(х) + А(у)(4.2)
А(λ·х) = λ·А(х).(4.3),
где λ – произвольное число. Линейное преобразование переводит сумму векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число — в произведение образа этого вектора на это же число.
  Рассмотрим n – мерное пространство Vn с базисом е1, е2, … , е n. Применим к векторам базиса линейное преобразование А, обозначив образы соответственно f1, f2, …, f n. Образы f1, f2, …, f n раскладываются по векторам базиса е1, е2, … , еn:
(4.4)
или f = AT(e), где А = (аij).
  Пусть х – произвольный вектор пространства Vn разложен по векторам базиса е1, е2, … , еn
(4.5)
Применим к равенству (16.5) преобразование А:
Координаты образа у в базисе е1, е2, … , еn выражаются через координаты вектора х соотношением
или в матричной форме у = А(х), где под векторами х и у следует понимать арифметические векторы – столбцы. Линейному преобразованию А в данном базисе можно поставить в соответствие матрицу А = (аij), называемой матрицей линейного преобразования. Таким образом, если вектор х имеет в базисе е1, е2, … , еn координаты ξ1, ξ2,…, ξn, а вектор у в том же базисе координаты η1, η2,…, ηn, то столбец координат вектора у получается из столбца координат вектора х по формуле
  Произведением двух линейных преобразований называется последовательное преобразование вектора х сначала линейным преобразованием А, а затем В. Матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц последовательных преобразований ВА. Действительно,
z = B(y) = B(A(x)) = AB(x)
по свойству ассоциативности произведения матриц.
  Суммой линейных преобразований, задаваемых матрицами А и В, называется такое линейное преобразование, которое задаётся матрицами А + В.

Свойства линейных преобразований:

  1. Линейное преобразование линейной комбинации векторов равно той же линейной комбинации преобразований этих векторов
  2. Линейное преобразование нулевого вектора есть нулевой вектор: А(0) = 0.
  3. Линейное преобразование противоположного вектора – х является вектор, противоположный образу вектора х: А(- х) = - А(х).

Определение собственного вектора матрицы

  Как указывалось выше, при умножении матрицы на вектор-столбец получается вектор A·b = c. Собственным вектором матрицы А называется такой вектор, для которого справедливо соотношение
A·b = λ·b
при этом число λ называется собственным значением вектора b.

Характеристическое уравнение матрицы

  Векторное соотношение
A·b = λ·b
можно записать в виде
(A − λ·E)·b = 0.
Это векторное соотношение в координатной форме запишется в виде однородной системы линейных алгебраических уравнений:
Эта система должна иметь ненулевое решение, следовательно, её главный определитель должен быть равен нулю
Раскрывая этот определитель, получим алгебраическое уравнение n - ой степени, которое называется характеристическим. Его корни называются характеристическими числами матрицы А.

  Т е о р е м а. Характеристический многочлен матрицы, задающей линейное преобразование линейного пространства Vn не зависит от выбора базиса.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А и В матрицы линейного преобразования в базисе е1, е2, … , еn и е'1, е'2, … , е'n – матрица перехода от одного базиса к другому. В этом случае можно записать у = А(х) и у' = В(х') — преобразования векторов в разных базисах. Однако, используя матрицу перехода Т, можно записать y = T(y) и х' = T(х). Поэтому T(у) = В(T(х)) или у = (Т-1BT)(х). Окончательно получим А = Т-1BT. Если матрицы А и В связаны этим соотношением, то они называются подобными. С учётом этого для характеристических уравнений в разных базисах имеем
| A − λE | = | T-1 BT − λE | = | T -1 |·| B − λE |·| T | = | B − λE |
что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов матрицы

  Характеристическое уравнение матрицы определит n собственных её значений λ1, λ2,…, λn. Поставляя последовательно эти собственные значения в систему
получим для каждого из собственных значений систему n однородных уравнений относительно n неизвестных b1, b2,…,bn. Так как главный определитель этой однородной системы равен нулю, то эта система имеет нетривиальное решение, и это решение определит собственный вектор матрицы для заданного собственного значения.

Пример

  Найти координаты вектора х в базисе е'1, е'2, …, е'n, если он задан в базисе е1, е2, … , еn координатами х = (6, -1, 3) и переход от базиса е1, е2, … , еn к базису выполняется в соответствии с соотношениями
(4.6)
  Р е ш е н и е. Представим (4.6) в матричном виде
(4.7)
Введём обозначения
тогда (4.7) может быть записано в виде е' = А·е. Найдём обратную матрицу преобразования А:
Найдём координаты вектора х в новом базисе

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение линейного преобразования.
  2. Как найти выражение двух последовательных линейных преобразования?
  3. Как найти координаты вектора в новом базисе, если известны координаты этого вектора в старом базисе?
  4. Дайте определение собственного вектора линейного преобразования.
  5. Как построить характеристическое уравнение линейного преобразования?
  6. Как зависят корни характеристического уравнения линейного преобразования от базиса?