ЛЕКЦИЯ 5 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Числовая ось, координаты точки на прямой.
  2. Расстояние между точками числовой прямой.
  3. Прямоугольная система координат на плоскости.
  4. Расстояние между двумя точками на плоскости.
  5. Деление отрезка в данном отношении.
  6. Площадь треугольника.
  7. Применение математического пакета MAPLE к решению задач.
  8. Вопросы для самопроверки.

Числовая ось

  Прямая, на которой указано направление, начало отчёта, масштаб, называется числовой прямой. Числовая ось задаёт взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси. Число, определяющие положение точки на числовой оси, называют координатой точки на этой оси. Координата точки на прямой определяется:

Расстояние между точками на числовой прямой

  Расстояние между точками на числовой прямой равно абсолютной величине разности координат этих точек
Например, если А ( 3 ) и В ( - 2), то АВ = |3– ( - 2)| = 5.

Прямоугольная система координат на плоскости

  Возьмём две взаимно перпендикулярные числовые прямые, имеющие общее начало отсчёта. Эти числовые прямые называются осями координат. Оси обычно располагаются так, как указано на рис. 5.1. Горизонтальная ось называется осью абсцисс и её направление указывается слева направо. Вертикальная ось называется осью ординат и её направление указывается снизу наверх. Точка пересечения осей называется началом координат. Такая система координат называется декартовой.
Спроектируем точку А на координатные оси. Координата точки А1 на ось абсцисс называется абсциссой точки А. Координата точки А2 на оси ординат называется ординатой точки А. Положение любой точки на плоскости однозначно определяется заданием пары чисел х и у, первое из которых является абсциссой точки, а второе — ординатой. Координаты точки принято писать в скобках, рядом с буквой, обозначающей точку, ставя на первом месте абсциссу, а на втором — ординату и разделяя их запятой. Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами (рис. 5.2).
      П р и м е р. Построить точку А( 2, 4 ).

Расстояние между точками на плоскости

  Пусть в выбранной декартовой системе координат заданы две точки А( x1,y1 ) и В( х2, у2 ). Найдём расстояние между двумя этими точками.
Очевидно, BC = | y2 - y1 | и AC = | x2 - x1 |. Из ΔABC по теореме Пифагора имеем (рис.4.3)
AB2 = AC2 + BC2
Используя свойство | a |2 = a2, получим
AB2 = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2
или окончательно .
Расстояние между заданными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноимённых координат.

Деление отрезков в данном отношении

  Пусть в выбранной декартовой системе координат заданы две точки (рис. 4.4) А(x1, y1) и В(х2, у2). На отрезке АВ найти такую точку С(х, у), такую что
.
 рис. 4.4
По теореме о пропорциональных отрезках имеем
,
поэтому
.
Разрешая это соотношение относительно х, получим
.
Аналогично для оси ординат
.
Частный случай: деление отрезка пополам n = m:
.

Площадь треугольника

  Даны вершины треугольника А( х1, у1 ), В( х2, у2 ), С( х3, у3 ). Найти площадь треугольника АВС.
  Известно, что площадь треугольника определяется соотношением (рис. 4.5)
  Учитывая, что φ = φ2 - φ1, соотношение площади преобразуем к виду
  Вопрос. Как Вы думаете, почему в формуле ставится выбор знака ±?

Применение математического пакета MAPLE к решению задач

Процедура нахождения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении:
>restart: with(plottools):with(plots):delp:=proc(x1,y1,x2,y2,n,m)local A,B,C;A:=vector(2,[x1,y1]):B:=vector(2,[x2,y2]):C[1]:=(A[1]*n+B[1]*m)/(n+m);C[2]:=(A[2]*n+B[2]*m)/(n+m);print(C[1],C[2]);end;
>delp(1,2,-1,4,1,2);
Задание точки :
> with(geometry):point(B,2,0); form(B); coordinates(B); HorizontalCoord(B);VerticalCoord(B);detail(B);
Расстояние между точками А и В: with(geometry): ps:=point(A,4,-1),point(B,-5,-9),point(C,-1,-12):distance(B,A);
√145
Вычисление площади треугольника АВС:
> with(geometry):triangle(ABC, [ps]):area(ABC);
Вычисляем длины сторон треугольника:
>with(geometry): triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,3,0),point(C,0,4)]):sides(ABC);

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется координатной осью?
  2. Что называется координатой точки на числовой прямой?
  3. Где находится точка на числовой прямой относительно начала координат, если её координата отрицательна?
  4. Какой формулой определяется расстояние между двумя точками на числовой прямой?
  5. Что называется декартовой системой координат?
  6. Что называется абсциссой точки?
  7. В какой координатной четверти находится точка, если её абсцисса и ордината отрицательны?
  8. Какой формулой определяется расстояние между двумя точками на плоскости?
  9. Какой формулой определяются координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении?
  10. Какой формулой определяются координаты точки, делящей данный отрезок пополам?
  11. Что называется направленным отрезком и его величиной?
  12. Что называется осью и числовой прямой?
  13. Почему множество всех вещественных чисел называют числовой прямой?
  14. Раскройте геометрический смысл свойства непрерывности вещественных чисел.
  15. Покажите, как с помощью прямоугольной системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чисел (х; у).
  16. Покажите, как с помощью прямоугольной системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чисел (х; у).
  17. Приведите простейшие задачи аналитической геометрии, которые решаются методом координат.