ЛЕКЦИЯ 6

Определение вектора.
Координаты вектора.
Определение равных векторов.
Определение одинаково направленных векторов.
Определение противоположно направленных векторов.
Определение длины вектора.
Определение нулевого вектора.
Определение суммы двух векторов.
Вычитание векторов.
Умножение вектора на вещественное число.
Орт вектора.
Коллинеарные векторы.
Линейная комбинация векторов.
Теоремы о линейной зависимости.
Примеры.
Линейные операции над векторами в пакете MAPLE.
Вопросы для самопроверки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА

Вектором называется направленный отрезок прямой (рис. 6.1).

рис. 6.1 Точка А называется началом вектора, точка В — концом. Вектор обозначается особым символом над буквенным обозначением — стрелкой:

.
При этом первым указывается начало вектора, или же

.
Прямая, на которой лежит вектор, называется линией действия вектора.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Пусть вектор

имеет началом точку А( х_а, у_а) и концом точку В( х_b, y_b). Координатами вектора

будем называть числа АВ_х = х_b - х_а, АВ_у = у_b - у_а, АВ_z = z_b - z_а.

РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два вектора называются равными, если один из них может быть получен параллельным переносом другого (рис. 6.2).

Рис. 6.2 Так

или

.
Равные векторы имеют соответственно равные координаты. И обратно, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Д о к а з а т е л ь с т во. Пусть А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂) координаты начальной и конечной точек вектора

. Равный ему вектор

получается параллельным сдвигом вектора

.
Координатами точек будут D( х₁ + c, у₁ + d) и C(х₂ + c, у₂ + d). Откуда видно, что вектор

будет иметь те же координаты.
Пусть теперь координаты векторов

равны: x₂ – x₁ = x₄ – x₃; y₂ – y₁ = y₄ – y₃. Отсюда имеем x₂ = x₁ + ( x₄ – x₃); у₂ = у₁ + ( у₄ – у₃). Параллельный перенос, задаваемый формулами x = x^* + ( x₄ – x₃); у = у^* + ( у₄ – у₃ ), переводит точку А в точку D, а параллельный перенос, задаваемый формулами x = x^* + ( x₂ – x₁ ); у = у^* + ( у₂ – у₁), переводит точку В с точку С.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОДИНАКОВО НАПРАВЛЕННЫХ ВЕКТОРОВ

Два вектора называются одинаково направленными, если они параллельны и у равных им векторов, имеющих общее начало, концы располагаются по одну сторону от начала (рис. 6.3).

Рис. 6.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ ВЕКТОРОВ

Два вектора называются противоположно направленными, если они параллельны и у равных им векторов, имеющих общее начало, концы располагаются по разные стороны от начала (рис. 6.4).

Рис. 6.4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВЕКТОРА

Длина отрезка, изображающего вектор, называется длиной вектора или модулем вектора. Из формулы расстояния между двумя точками следует формула для нахождения длины вектора

Далее будем ограничиваться рассмотрением векторов на плоскости. Распространение получаемых выводов на трёхмерный случай получается без особых затруднений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕВОГО ВЕКТОРА

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет нулевые координаты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Суммой двух векторов

называется вектор с координатами ( a₁ + b₁, a₂ + b₂ )

. Для любых векторов

сумма векторов коммутативна:
сложение векторов ассоциативно:

Для доказательства этого достаточно сравнить координаты векторов в правой и левой частях равенств.
Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство

Для доказательства этого равенства необходимо ввести координаты точек, получить координаты векторов, воспользоваться определением суммы векторов и сравнить координаты векторов в левой и правой частях равенства.
Суммой двух векторов является вектор, построенный на диагонали параллелограмма, проходящей через их общее начало, имеющий то же начало и длину. (рис. 6.5).

Рис. 6.5 Суммой двух векторов является вектор, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего. Замыкающий вектор направлен из начала первого вектора к концу последнего.

, так как

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Вычитание векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разностью векторов

называется вектор с координатами ( a₁ - b₁, a₂ - b₂ ).

Разностью векторов

является такой вектор

, который в сумме с вектором

даст вектор

Как видно из рисунка, разность векторов есть другая диагональ параллелограмма, построенного на вычитаемых векторах, причём направление вектора разности — от конца вектора вычитаемого к концу вектора уменьшаемого.
Нуль вектор является нулём сложения:

Вектор −

является противоположным вектору

, если длины этих векторов равны, а направления противоположны.
Для любого вектора

существует ему противоположный −

, такой, что

Умножение вектора на вещественное число

Произведением вектора

на число λ называется вектор ( λ·a₁, λ·a₂ ).
Произведение вектора на число обладает свойствами, для доказательства которых достаточно сравнить координаты векторов в правой и левой частях равенств:

1) 1· = для любого вектора
2) для любых действительных значений λ и μ и любого вектора ;
3) для любых действительных значений λ и μ и любого вектора
4) для любого действительного значения λ и любых векторов и .
Кроме того,
5) ;
6) векторы и сонаправлены, если λ > 0, и противоположно направлены, если λ < 0 и , если λ = 0.

Для доказательства последнего свойства отложим векторы

от начала координат. Обозначим конечные точки этих векторов соответственно через А и В. Эти точки будут иметь координаты А(а₁, а₂) и В( λ·а₁, λ·а₂). В случае 0 < λ < 1 точка В лежит на отрезке ОА и делит его в отношении λ : (1 - λ), так как

. В случае λ > 1 точка А лежит на отрезке ОВ и делит его в отношении λ : (λ - 1). В обоих случаях при λ > 0 вектор

имеет направление вектора

. При λ < 0 точка О лежит на отрезке АВ и делит его в отношении 1 : |λ|. Поэтому при λ < 0 вектор

имеет направление, противоположное направлению вектора

Орт вектора

Ортом вектора

называется вектор единичной длины, имеющий то же направление, что и вектор

.
Орт вектора можно получить, разделив вектор на его длину:

Коллинеарные векторы

  Два вектора называется коллинеарным, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
  Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. И обратно, если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы

коллинеарны. Рассмотрим вектор

. Знак «+» берётся, если векторы

одинаково направлены, и знак «-» — когда они направлены противоположно.
Вектор

равен вектору

, так как они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину.
Приравнивая координаты векторов

, получим

. Отсюда

. Значит

, что и означает пропорциональность координат.
Пусть теперь у векторов

координаты пропорциональны:

. Получаем b₁ = λ·a₁, b₂ = λ·a₂. Отсюда следует, что

, что означает коллинеарность этих векторов.

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией системы векторов

называется вектор, получаемый из векторов этой системы путём умножения их на коэффициенты λ₁, λ₂,…, λ_n и сложения:

Система векторов

называется линейно зависимой, если существуют не все одновременно равные нулю числа λ₁, λ₂,…, λ_s, для которых может быть выполнено соотношение

Если же соотношение

для системы векторов

выполнено исключительно для нулевых λ₁ = λ₂ = … = λ_s = 0, то система векторов называется линейно независимой.

Теоремы о линейной зависимости

Т е о р е м а 1. Для того, чтобы система, состоящая из одного вектора, была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым вектором.
Т е о р е м а 2. Для того, чтобы система двух векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы векторы были коллинеарными.
Действительно, пусть векторы являются линейно зависимыми, то существуют такие ненулевые числа λ и μ, что будет выполнено соотношение

. Считая λ ≠ 0, получим

, то есть векторы

коллинеарны.
Д о к а з а т е л ь с т в о обратного утверждения не составляет труда.
  Любая пара неколлинеарных векторов линейно независима.
  Определение. Векторы, расположенные в одной плоскости или же параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.
  Для линейной зависимости трёх векторов необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.
  Необходимость. Пусть векторы

являются линейно зависимыми. Из этого следует, что существует нетривиальная тройка чисел λ, μ и n, для которых будет выполнено соотношение

. Пусть, например, λ ≠ 0, тогда

. и вектор

являются диагональю параллелограмма, построенного на векторах

и эти три векторы лежат в одной плоскости (параллелограмма). Откуда и следует компланарность рассматриваемой тройки векторов.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть векторы

компланарны и не лежат на одной прямой.

Тогда

, что означает линейную зависимость рассматриваемых векторов.

Пример 1

Дан параллелограмм ABCD. Точки К и Z делят смежные стороны ВС и CD пополам (Рис. 6.6).
Даны векторы

. Найти векторы

Рис. 6.6 Р е ш е н и е. Используя правило вычитания векторов, запишем

. Используя правила сложения векторов, далее будем иметь

. Так как

, то

и, таким образом,

. Откуда найдём

. Далее находим

. Пример 2. Точка О есть пересечение медиан треугольника АВС (рис. 6.7). Доказать, что сумма векторов, имеющих началом точку О, и концами — вершины треугольника, равна нулю.

Рис. 6. 7 Решение. По свойству точки пересечения медиан имеем

. поэтому, используя правило параллелограмма сложения векторов, будем иметь

, или

. Так как

, то окончательно будем иметь

, что и требовалось доказать.

Линейные операции над векторами в пакете MAPLE

>with(linalg):
>a:=vector([6,2,1]);b:=vector([0,-1,2]); a := [6, 2, 1]
b := [0, -1, 2] >c:=matadd(a, b, 2, -1); c := [12, 5, 0] >norm(c,2); 13

Вопросы для самопроверки

Что называется вектором?
Что отличает векторную величину от скалярной?
Как обозначается векторная величина?
Что называется суммой двух векторов?
Как геометрически построить сумму векторов?
Что называется разностью двух векторов?
Как геометрически построить разность двух векторов?
Как умножить вектор на число?
Как геометрически умножить вектор на число?
Что называется величиной вектора?
Какие векторы называются одинаково направленными?
Какие векторы называются противоположно направленными?
Что называется нуль – вектором?
Что называется ортом вектора?
Какие векторы называются равными?
Какие векторы называются коллинеарными?
Сформулируйте признак коллинеарности векторов.
Что называется линейной комбинацией векторов?
Какие векторы называются линейно независимыми?
Какие векторы называются линейно зависимыми?
Когда два вектора линейно зависимы?
Когда три вектора линейно зависимы?
Постройте точки А( 2; 3 ), B( 4; − 1 ), С( − 1; 7 ), D( − 2; − 3 ), E ( 0; 2 ), F( 4; 0 ).
Не строя точку А(1; − 3), выясните, в какой четверти она расположена.
В каких четвертях может находиться точка, если ее абсцисса положительна?
На оси Ох взята точка с координатой (- 5). Каковы ее координаты на плоскости?
Точки A( 3; 2 ) и В ( а; − 1) расположены на прямой, параллельной оси Оу. Найдите значение а.
Точка М является серединой отрезка ОА, соединяющего начало координат О с точкой А(− 5; 2 ). Найдите координаты точки М.
Даны точки A( x₁; y₁) и В( х₂; y₂). Покажите, что формула расстояния между точками А и В не зависит от знаков их координат.
Дайте ответ:
1. какая точка дальше от оси Ох: А ( 2; − 5 ) или B( 3; 4 )?
2. какая из этих точек дальше от оси Оу?
3. чему равны расстояния от точки А (а; b) до осей Ох и Оу соответственно?
Постройте точки; A( 4; 1 ), В( 3; 5 ), С(− 1; 4) и D(0; 0). Если точки построены правильно, то получен квадрат. Какова его площадь? Чему равна длина стороны этого квадрата? Найдите координаты середин сторон квадрата.
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами А (2; 4), B( 0; 1 ); С(4; − 2).
Точки А( − 2; 1 ), В( 2; 3 ) и С ( 4; − 1 ) — середины сторон треугольника. Найдите координаты его вершин.
На плоскости даны точки A( 0; 0),В( х₁; у₁) и D( x₂; y₂ ). Какие координаты должна иметь точка С, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом?
Площадь треугольника равна 10 кв. ед., две его вершины — точки A( 5; 1 ) и В( − 2; 2 ). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси абсцисс.
Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках
A( 3; 1 ); B( 4; 6 ), С( 6; 1 ) и D( 5; − 2 ).
На плоскости даны три точки: A( 3; - 6 ), В ( − 200; 400 ), С( 1000; − 2000 ). Докажите, что они лежат на одной прямой.
Найдите, какие три из точек А( 1; 3 ); В( − 2; 1 ), С( − 1; 7 ), D( 3; 1 ) лежат на одной прямой.