ЛЕКЦИЯ 7 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Определение скалярного произведения.
  2. Скалярный квадрат.
  3. Скалярное произведение вектора на орты координатной системы.
  4. Скалярное произведение в координатной форме.
  5. Косинус угла между двумя векторами.
  6. Проекция вектора на направление другого вектора.
  7. Условие ортогональности двух векторов.
  8. Пример.
  9. Вопросы для самопроверки.

Скалярное произведение векторов

  Скалярным произведением двух векторов называют произведение длин перемножаемых векторов на косинус угла между ними:
a·b = | a |·| b |·cos φ.
  Углом между двумя векторами называют наименьший угол поворота одного вектора вокруг своего начала в плоскости векторов для совмещения их направлений.

Скалярный квадрат

  Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
a·a = | a |·| a |·cos 0 = | a |2,
откуда следует выражение модуля вектора через скалярное произведение .

Скалярное произведение вектора на орты координатной системы

  Скалярное произведение векторов на орты декартовой системы координат равны соответствующим координатам векторов:
a·i = ( ax·i + ay·j + az·k )·i = ax·i·i + ay·j·i + az·k·i = ax,
a·j = ( ax·i + ay·j + az·k )·j = ax·i·j + ay·j·j + az·k·j = ay,
a·k = ( ax·i + ay·j + az·k )·k = ax·i·k + ay·j·k + az·k·k = az.

Скалярное произведение в координатной форме

  Воспользовавшись свойством скалярного произведения, получим
a·b = ( ax·i + ay·j + az·k )· ( bx·i + by·j + bz·k ) =
= ax·bx·i · i + ax·by·i · j + ax·bz·i · k + ay·bx·j · i + ay·by·j · j + ay·bz·j · k + az·bx·k · i + az·by·k · j + az·bz·k · k =
= ax·bx + ay·by + az·bz.
Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений одноимённых координат: a·b = ax·bx + ay·by + az·bz.
Используя формулу для скалярного квадрата вектора, получим формулу для нахождения модуля вектора
.

Косинус угла между двумя векторами

  Из определения скалярного произведения следует
.
В координатной форме эта формула примет вид
.

Проекция вектора на направление другого вектора

  Для проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения имеем
.
В координатной форме формула для проекции примет вид
.

Условие перпендикулярности двух векторов

  Если векторы перпендикулярны a _|_ b, то угол между ними равен 900 и скалярное произведение этих векторов равно нулю: a · b = 0.
Условием перпендикулярности в координатной форме будет равенство нулю суммы произведений одноимённых координат
ax·bx + ay·by + az·bz = 0.

Пример

  Для треугольника с вершинами: А ( −1, 2 ), В ( − 3, − 1 ), С ( 1, 3 ) найти:
  1. внутренние углы треугольника;
  2. проекцию стороны АВ на сторону АС.
В математическом пакете MAPLE решение этой задачи будет выглядеть следующим образом:
> restart:with(linalg):with(plottools):with(plots):A:=[-1,2]:B:=[-3,-1]:C:=[1,3]:
> l:=polygonplot([A,B,C],color=green,thickness=3):
> tx1:=textplot([-1,2,'A'],align={ABOVE,LEFT}):tx2:=textplot([-3,-1,'B'],align={BELOW,LEFT}):tx3:=textplot([1,3,'C'],align={ABOVE,RIGHT}):plots[display](l,tx1,tx2,tx3);
Найдем координаты векторов, выходящих из вершины А:
> AB:=vector(B-A);
AB:=[−2; −3]
> AC:=vector(C-A);
AC:=[2; 1]
Найдём скалярное произведение векторов AB и AC
> dotprod(AB,AC);
− 7
Найдём модули векторов AB и AC
> NAB:=sqrt(sum((AB[i])^2,i=1..2));
NAB = √13
>NAC:=sqrt(sum((AC[i])^2,i=1..2));
NAC = √5
Найдём косинус угла межу векторами AB и AC
> dotprod(AB,AC)/(NAB*NAC);
Как видно результаты совпадают
Найдем проекцию стороны АВ на сторону АС:
> abs(dotprod(AB,AC))/NAC;

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение скалярного произведения.
  2. Как определяется угол между векторами?
  3. Чему равен скалярный квадрат двух векторов?
  4. Запишите формулу скалярного произведения в координатной форме.
  5. Как найти угол между векторами в координатной форме?
  6. Сформулируйте условие перпендикулярности векторов через скалярное произведение.
  7. Как найти проекцию одного вектора на направление другого вектора?
  8. Найдите скалярное произведение двух векторов a ( 1, − 3, 5 ) и b ( − 2, 1, 2 ).
  9. Найдите проекцию вектора a ( 1, − 3, 5 ) на вектор b ( − 2, 1, 2 ).
  10. При каком значении параметра k вектор a ( 1, − 3, k ) будет перпендикулярен вектору b ( − 2, 1, 2 )?