ЛЕКЦИЯ 8 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Определение векторного произведения.
  2. Свойства векторного произведения.
  3. Векторное произведение базисных векторов декартовой системы координат.
  4. Векторное произведение в координатной форме.
  5. Пример вычисления площади треугольника.
  6. Математический макет MAPLE для для построения векторов.
  7. Простейшее произведения трёх векторов.
  8. Векторно - векторное произведение трёх векторов.
  9. Векторно - скалярное произведение трёх векторов.
  10. Векторно - скалярное в координатной форме.
  11. Пример: определить компланарность данных векторов.
  12. Вопросы для самопроверки.

Определение векторного произведения

 Векторным произведением двух векторов a × b называется вектор, который  Замечание.Как видно из определения, модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Свойства векторного произведения

  1. Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.
  2. α·a × β·b = (α·β)·a × b, где α и β числа,
  3. a × ( b + c ) = a × b + a × c,
  4. a × b = − b × a.
 Первое и четвёртое свойства очевидны в соответствии с определением векторного произведения.

Векторное произведение базисных векторов декартовой системы координат

 Для ортов декартовой системы координат непосредственно из определения векторного произведения следует
i × i = j × j = k × k = 0, i × j = k, j × k = i, k × i = j.
Для запоминания предлагается следующая схема

Векторное произведение в координатной форме

 Представим перемножаемые векторы в разложении по базисным векторам декартовой системы координат и перемножим их, воспользовавшись свойствами векторного произведения,
Как видно, векторное произведение представляется определителем третьего порядка, в первой строчке которого проставляются базисные векторы декартовой системы координат, во второй строчке — координаты первого вектора – сомножителя, в третьей строчке — координаты второго вектора – сомножителя.
 Используя свойства определителей, можно обосновать свойства векторного произведения. Так свойство
a × b = − b × a
соответствует изменению знака определителя при перестановке двух его строк. Далее, если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, это соответствует пропорциональности второй и третьей строчек. То есть, условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат.

Пример вычисления площади треугольника

 Даны точки А1(7; 0; 3), А2(3; 0; 1), А3(3; 0; 5). Средствами векторной алгебры найти площадь треугольника А1А2А3.
 Решение. Найдём координаты векторов и . Найдём через векторное произведение найденных векторов, разложив определитель по первой строке:
Площадь треугольника найдётся как половина длины получившегося вектора (половина площади параллелограмма)
.
 Формуле вычисления площади параллелограмма можно придать более простой вид через скалярное произведение:
или окончательно

Математический макет MAPLE для для построения векторов

В математическом макете MAPLE векторное произведение двух векторов и построение всего пакета векторов проводится посредством нижеприведённой программы:
> restart:with(plottools):with(linalg):with(plots):a:=vector([-5,-7,-4]): b:=vector([-9,-10,-2]):c:=crossprod(a,b);
> a1:=arrow(<0,0,0>,<a[1],a[2],a[3]>,width=[0.03, relative], head_length=[0.15, relative],color=blue):b1:=arrow(<0,0,0>,<b[1],b[2],b[3]>,width=[0.02, relative],head_length=[0.15, relative],color=black): c1:=arrow(<0,0,0>,<c[1],c[2],c[3]>,width=[0.01, relative], head_length=[0.15, relative], color=red):p1:=textplot3d([a[1],a[2],a[3],`a`],color=black,font=[TIMES,BOLD,14],align={BELOW,RIGHT}): p2:=textplot3d([b[1],b[2],b[3],`b`],color=black,font=[TIMES,BOLD,14],align={BELOW,RIGHT}):A:=[a[1],a[2],a[3]]:B:=[b[1],b[2],b[3]]: E:=[a[1]+b[1],a[2]+b[2],a[3]+b[3]]:p3:=textplot3d([c[1],c[2],c[3],`c`],color=black,font=[TIMES,BOLD,14]):N:=[0,0,0]: l:=polygonplot3d([N,A,E,B],color=green,thickness=3):plots[display](a1,b1,c1,p1,p2,p3,l,orientation=[156,-77],axes=NORMAL);
Параллелограмм перпендикулярен векторному произведению и его площадь численно равна модулю векторного произведения (рис. 7.1).

Простейшее произведения трёх векторов

 Типы произведений трех векторов. Из трех векторов можно составить только три различных типа произведений.
 Во-первых, можно перемножить два вектора a и b скалярно и полученный скаляр умножить на третий вектор c. В результате получится вектор, называемый простейшим произведением трех векторов:
(a · b) · c.
 Во-вторых, можно перемножить два вектора a и b век-торно и полученный вектор a ×b умножить тоже векторно на третий вектор c. В результате получится вектор, называемый векторно - векторным или двойным векторным произведением трех векторов:
( a ×b ) × c.
 В - третьих, можно перемножить два вектора a и b векторно и полученный вектор a × b умножить скалярно на третий вектор c. В результате получится скаляр, называемый векторно - скалярным или смешанным произведением трех векторов:
( a × b ) · c.
 Этими тремя произведениями и исчерпываются все типы произведений трех векторов. Мы изучим их подробно и установим два замечательных факта. Во-первых, мы покажем, что векторно - векторное произведение (a × b) × c можно представить как разность двух простейших произведений (a · c) b и (b · c) a. Во-вторых, мы покажем, что векторно - скалярное произведение (a × b) · c выражается через попарные скалярные произведения своих сомножителей.
 Простейшее произведение трех векторов по нашему определению получается умножением скалярного произведения двух векторов а · b па третий вектор c:
(a · b) c.
Мы видим, что в результате получается вектор, коллинеарный с третьим вектором c. Итак, простейшее произведение трех векторов есть вектор, коллинеарный с тем своим множителем, который стоит за знаком скалярного умножения.
 Из этого свойства в общем случае вытекает неравенство
a (b · c) ≠ (a · b) c,
которое заменится равенством лишь в том особом случае, когда векторы a и c коллинеарны.
 Итак, в общем случае простейшее произведение трех векторов не подчиняется закону сочетательности. Этими двумя замечаниями и исчерпываются все особенности простейшего произведения, которые полезно иметь в виду.

ВЕКТОРНО - ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЁХ ВЕКТОРОВ

 Векторно-векторное произведение трех векторов по определению получается векторным умножением векторного произведения двух векторов a × b на третий вектор c:
(a × b) × c.
Нашей целью будет получение формулы разложения, которая выражает это произведение через простейшие и которая фактически исчерпывает всю теорию векторно-векторного произведения.
 Формула разложения векторно-векторного произведения. . Векторно-векторное произведение трех векторов является вектором. Мы обозначим его R:
R = (a × b) × c.
Этот вектор R является векторным произведением вектора a × b и вектора c. Поэтому вектор R перпендикулярен и к вектору a × b и к вектору c.
 Из перпендикулярности вектора R к векторному произведению a × b  вытекает, что он лежит в плоскости перемножаемых векторов a и b, так как они тоже перпендикулярны своему векторному произведению. Следовательно, вектор R компланарен векторам a, b и разлагается по ним. Запишем это разложение так:
R = λ a + μ b.
 Из перпендикулярности векторов R и c вытекает, что их скалярное произведение равно нулю. Поэтому, умножив скалярно обе части этой формулы разложения на c, получим
0 = λ a · c + μ b · c,
или
.
Обозначив эти равные отношения через σ, т. е.
,
мы найдем
μ = σ (a · c); λ = - σ (b · c).
 Подставив эти выражения для λ и μ в формулу разложения, получим
R = σ { b (a · c) -a (b · c) }.
 Теперь остается определить скаляр σ. С этой целью введем систему координат: ось ОХ направим по вектору a, ось OY проведем перпендикулярно к ней в плоскости векторов a и b; тогда ось OZ направится по перпендикуляру к этой плоскости. Разлагая векторы a, b, c по ортам осей введенной координатной системы, мы получим Вычислим, во-первых R по исходной формуле;
,
следовательно
.
 Вычислим, во-вторых, R по найденной формуле
a · c = ax cx, b · c = bx cx + by cy;
следовательно,
R = σ {b (a · c) - a (b · c)} = σ {{i bx + j by) ax cx - i ax (bхсх + bуcу )} = σ {- i ахbуbу + j ax by cx).
 Сравнивая полученные выражения для вектора R, мы заключаем, что σ = 1. Следовательно, наша формула для R принимает вид
R = b (a · c) − a (b · c)
С другой стороны, вектор R обозначает векторно-векторное произведение
R = (a × b) × c.
 Сопоставив оба эти выражения для R, мы и получим искомую формулу разложения векторпо-векторного произведения:
(a × b) × c = b (a · c ) − a (b · c).
 Эта замечательная формула выражает векторно-векторное произведение любых трех векторов через их простейшие произведения.
 3 а м е ч а н и е. При выводе формулы мы неявным образом опирались на два допущения:
1) векторы a и b предполагались не коллинеарпыми;
2) предполагалось, что векторы a и b не перпендикулярны вектору c одновременно. Однако если хотя бы одно из этих допущений не выполняется, то обе части нашей формулы обращаются в нуль и она, следовательно, сохраняет свою силу независимо от этих допущений.

Векторно - скалярное произведение трёх векторов

 Векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, т. е. произведение вида
(a × b) · c
 Сметанное произведение представляет собой скаляр. Выясним его геометрический смысл. Обозначив
S = a × b,
получим
(a × b) · c  = S · c = S c cos (S, c) = S c cos φ.
 Чтобы истолковать полученный результат, мы построим на некторах a, b, c параллелепипед, основанием которого будем считать параллелограмм со сторонами a, b. Площадь этого основания такова:
S = | a × b |.
 Обозначим через H высоту, опущенную на это основание. Тогда объем V параллелепипеда определится известной формулой
V = S·H
 Теперь нам придется различать два случая. В первом случае, когда перемножаемые векторы a, b, c образуют правую систему,
т. е. когда из конца третьего вектора с поворот от первого вектора a ко второму bвиден происходящим против хода часовой стрелки,
с cos φ = Н
и формула примет вид
(a × b) · c = S·H = V.
Таким образом, векторно-скалярное произведение трех векторов, образующих правую систему, равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
 Во втором случае, когда перемножаемые векторы a, b, c образуют левую систему , т. е. когда с конца третьего вектора с поворот от первого вектора a ко второму b виден происходящим по ходу часовой стрелки,
с cos φ = - Н
формула примет вид
(a × b) · c = - S·H = - V.
Таким образом, векторно-скалярное произведение трех векторов, образующих левую систему, отличается только знаком от объема параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах. Итак,
(a × b) · c = ± V,
причем знак «+» получается, когда перемножаемые векторы образуют правую систему, и знак «−», когда их система левая.
 Отсюда следует, что объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, всегда равен абсолютной величине их векторно-скалярного произведения:
V = |(a × b) · c |.
 Законы векторно-скалярного умножения.
3 а к о н с о ч е т а т е л ь н о с т и. Векторно-скалярное произведение трех векторов не зависит от группировки множителей, т. е.
(a × b) · c = a · (b × c ).
  Действительно, оба эти произведения имеют одинаковые абсолютные величины, равные объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах a, b, c . Знаки этих произведений также совпадают, так как если система векторов a, b, c правая, то и система b, c, a правая, если же система a, b, c левая, то и система b, c, a левая.
 Следовательно, оба произведения (a × b) · c и a · (b × c ) одинаковы.
 Учитывая закон сочетательности, векторно-скалярное произведение трех векторов a, b, c обозначают условно так; (a, b, c). Следовательно,
(a, b, c) = (a × b) · c = a · (b × c ).
 Закон круговой переместительности. Знак векторного умножения можно поставить между любой парой соседних множителей векторно - скалярного произведения. Поэтому перестановка этих множителей изменит только знак. На основании этого мы последовательно получим
(a, b, c ) = − (b, a, c) = ( b, c, a)= − (c, b, a)  = (c, a,  b ) = - ( a,  c, b ).
 Чтобы сформулировать получающийся закон переместительности, отметим на окружности три точки, которые обозначим, как множители, буквами a, b, c . Будем считать положительным обход окружности в направлении аbс. Мы видим (4.22), что при перестановке множителей, не нарушающей их кругового порядка, векторно-скалярное произведение не меняется; при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, векторно-скалярное произведение меняет только свой знак.
 З а к о н р а с п р е д е л и т е л ь н о с т и. Векторно - скалярное умножение суммы векторов на два других вектора можно выполнять почленно, т. е.
(a + a1, b, c) = (a, b, c) + (a1, b, c).
Этот закон не нуждается в доказательстве, так как он непосредственно вытекает из закона распределительности скалярного произведения двух векторов.
 З а к о н с о ч е т а т е л ь н о с т и о т н о с и т е л ь н о с к а л я р н ы х м н о ж и т е л е й. Скалярный множитель можно выносить за знак векторно - скалярного произведения, т. е.
( λa, b, c) = λ (a, b, c ).
Этот закон также не нуждается в доказательстве, так как он является непосредственным следствием соответствующих законов для векторного и скалярного умножений двух векторов.-
 Обращение в нуль векторно - скалярного произведения трех векторов. Векторно - скалярное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы компланарны. Действительно, объем параллелепипеда, построенного на компланарных векторах, равен нулю, и, наоборот, если объем равен нулю, то векторы компланарны.
 Таким образом, условием компланарности трех векторов является равенство нулю их векторно - скалярного произведениях
(a, b, c ) = 0.
 В частности, векторно - скалярное произведение равно нулю, если в нем два множителя одинаковы:
(a, a, b ) = 0.
Смешанное произведение трёх векторов в пакете MAPLE можно оскать по определению:
>with(linalg):a:=vector([-5,-7,-4]):b:=vector([-9,-10,-2]):c:=vector([-2,-11,3]):dotprod(crossprod(a,b),c);
-373

Векторно - скалярное в координатной форме

 Пусть векторы a, b, c разложены по ортам осей  Тогда, согласно выражению векторного произведения в координатной форме, получаем
.
следовательно,
.
или, окончательно,
.
 Смешанное произведение векторов равен определителю, в первой строчке которого стоят координаты вектора, который умножается скалярно, во второй строчке — координаты первого вектора сомножителя в векторном произведении, в третьей строчке — координаты второго вектора сомножителя в векторном произведении Таким образом, объём параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах, численно равен определителю, строки которого являются координатами этих некомпланарных векторов.

Пример

   Определить коллинеарность векторов a = (2, 3, − 1), b = ( 1, − 1, 3), c = ( 1, 9, − 11 ).
  Решение. Вычислим определитель
Так как смешанное произведение этих векторов равно нулю, то векторы компланарны.

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение векторного произведения.
  2. Перечислите свойства векторного произведения.
  3. Запишите векторное произведение в координатной форме.
  4. Дайте определение смешанного произведения.
  5. Перечислите свойства смешанного произведения.
  6. Запишите смешанное произведение в координатной форме.
  7. Запишите признак коллинеарности векторов в координатной форме.
  8. Запишите признак компланарности векторов в координатной форме.
  9. Запишите векторное произведение базисных векторов.
  10. Как установить, какую связку, правую или левую, образует система трёх некомпланарных векторов?