ЛЕКЦИЯ 9 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Уравнение линии.
  2. Общее уравнение прямой линии на плоскости.
  3. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.
  4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
  5. Уравнение прямой линии в отрезках на осях.
  6. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.
  7. Уравнение пучка прямых линий.
  8. Примеры.
  9. Применение пакета MAPLE.
  10. Вопросы для самопроверки.

Уравнение линии

 Линией на плоскости назовём геометрическое место точек на плоскости, координаты которого удовлетворяют некоторому условию. Функция, которая каждому числу по некоторому правилу ставит в соответствие пару чисел, называется уравнением линии. Уравнение линии в неявной форме в декартовой системе координат представляется соотношением F(x, y) = 0. Уравнение линии в явной форме в декартовой системе координат представляется соотношением y = f (x). Уравнение линии в параметрической форме представляется соотношениями
Следует отметить, что не каждое соотношение, связывающее переменные х и у, определяет линию на плоскости: так соотношение х2 + у2 = − 1 не определяет на плоскости ничего.

Общее уравнение прямой линии на плоскости

 Линия, координаты точек которой удовлетворяют уравнению вида A·x + B·y + C = 0 является прямой линией на плоскости. Величины А, В и С являются параметрами линии.

Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению

 Пусть дана точка М0(x0, y0) и некоторый вектор N (A, B). Составим уравнение прямой линии, проходящей через данную точку и перпендикулярной заданному вектору. Для этого выберем произвольную точку М(x, y) на прямой. Тогда вектор
будет перпендикулярен вектору N (A, B). Записывая признак перпендикулярности векторов в координатной форме, получим A·( x - x0 ) + B·( y - y0 ) = 0.
 Раскрывая скобки, получим общее уравнение прямой линии на плоскости
A·x + B·y + C = 0,
где С = − А·x0 − B·y0. Из этого уравнения виден смысл коэффициентов А и В – они являются координатами вектора, перпендикулярного прямой (являются координатами нормального вектора).
> with(plots):st:=plot(2*(x)-2,x=-1..5,thickness=3, color=black, xtickmarks=0,ytickmarks=0):p1 := line([3,4], [3,0], color=black, linestyle=3):p2 := line([0,4], [3,4], color=black, linestyle=3):plots[display](st,p1,p2);
 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению, в пакете MAPLE выводится так
> restart:with(geometry):with(plots):point(A,2,3):
> n:=Vector([1,2]):
> eql:=n[1]*(x-HorizontalCoord(A))+n[2]*(y-VerticalCoord(A))=0;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

 Выведем уравнение прямой линии, проходящей через две заданные точки M(x0, y0), M1(x1, y1).
Для этого выберем на прямой произвольную точку М(x, y). Векторы и будут коллинеарными. Признаком коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат
.
Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
 В пакете MAPLE построение прямой линии, проходящей через две заданные точки, можно проводить так:
> with(plottools): l := line([7,2], [3,4], color=black, linestyle=1,thickness=3); plots[display](l);
> x0:=[1,-3]:x1:=[-1,5]:l:=(x-x0[1])/(x1[1]-x0[1])-(y-x0[2])/(x1[2]-x0[2])=0:
- 1/2 x + 1/8 - 1/8 y = 0
> with(plots):implicitplot((x-x0[1])/(x1[1]-x0[1])-(y-x0[2])/(x1[2]-x0[2])=0,x=-0.2..1,y=-1..2);
Или
> restart:with(geometry):M:=point(M,3,0):N:=point(N,-5,3):A:=point(A,-4,4):line(p,[M,N]):Equation(p,[x,y]);

Уравнение прямой линии в отрезках на осях

 Выведем уравнение прямой линии, если известны точки пересечения прямой с осями координат А(а, 0) и В(0, b). Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
.
В данном случае
Из этого уравнения легко получаем
— это и есть уравнение прямой в отрезках на осях: параметр b определяет точку пересечения прямой с осью OY, параметр а – с осью OX. Действительно, при x = 0 получаем y = b.

Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Запишем уравнение прямой линии, пересекающей ось ординат в точке А(0, b), и образующей с осью абсцисс угол j.
 Выберем произвольную точку M(x; y) на прямой. Из Δ ABC имеем
.
Откуда далее
.
Если ввести обозначение углового коэффициента прямой
k = tg φ,
получим окончательно уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = k·x + b.
З а м е ч а н и е. Этим уравнением нельзя пользоваться, если прямая перпендикулярна оси абсцисс, так как в этом случае угловой коэффициент такой прямой не определён.

Уравнение пучка прямых линий

 Пучком прямых называют множество всех прямых, проходящих через заданную точку. Так как все прямые проходят через одну и ту же точку с координатами M0(x0, y0), то координаты этой точки удовлетворяют уравнениям этих прямых, т.е. y0 = k·x + b. Вычитая это равенство из y = k·x + b, получим y − y0 = k· (х − x0) — это уравнение и есть уравнение пучка прямых.
 З а м е ч а н и е. Уравнением пучка прямых можно описать любую прямую пучка кроме прямой, перпендикулярной оси абсцисс, так как в этом случае угловой коэффициент такой прямой не определён.

Примеры

 Дано общее уравнение прямой линии 2·х + 3·у + 6 = 0. Найти:  Решение. Приведем уравнение к виду y = k·x + b
,
отсюда следует, что , b = − 2 — точка пересечения с осью ОУ.
Точки пересечения с осями координат можно найти, если привести уравнение к виду уравнения прямой линии в отрезках на осях
.
Здесь а = − 3; b = − 2 – точки пересечения с координатными осями.

Применение пакета MAPLE

 Вывод уравнения пряиой, проходящей через две заланные точки, в декартовой системе координат
>restart:with(geometry):
>point(A,1,7):point(B,4,10):
>line(l1,[A,B]):
>Equation(l1,[x,y]);

-18-3x+3y = 0

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется уравнением линии на плоскости?
  2. Какое условие используется при выводе уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению?
  3. Какой смысл имеют коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой?
  4. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?
  5. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках на осях?
  6. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?
  7. Что называется угловым коэффициентом прямой?
  8. Как найти угловой коэффициент прямой?
  9. Какой вид имеет уравнение пучка прямых?
  10. Какие координатные четверти пересекает прямая, если k < 0, b < 0?
  11. Можно ли использовать уравнение с угловым коэффициентом, если прямая линия параллельны оси ординат?
  12. Входит ли прямая, параллельная оси OY и проходящая через заданную точку в пучок прямых?
  13. Дайте определение уравнения линии и самой линии. Приведите примеры.
  14. Выведите уравнение окружности с центром в данной точке.
  15. Как называется тангенс угла наклона прямой к оси Ох?
  16. Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
  17. Выведите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
  18. Какой вид имеет уравнение прямой «в отрезках»?
  19. Докажите, что уравнение прямой всегда выражается уравнением первой степени и, обратно, всякое уравнение первой степени есть уравнение прямой.
  20. В чем состоит геометрический смысл параметров k и b в уравнении прямой с угловым коэффициентом?
  21. Исследуйте общее уравнение прямой А·х + В·у + С= 0 при A = 0, B = 0 и при C = 0.
  22. Как выражаются уравнения прямых, параллельных осям Ох и Оу, а также уравнения самих осей координат?
  23. Как привести уравнение с угловым коэффициентом к общему уравнению прямой?
  24. Как можно найти точку пересечения двух прямых?