ЛЕКЦИЯ 10

Угол между прямыми линиями.
Условие параллельности прямых линий.
Условие перпендикулярности прямых линий.
Расстояние от точки до прямой линии.
Примеры.
Вопросы для самопроверки.

Угол между прямыми линиями

Пусть две прямые линии заданы уравнениями y = k₁·x + b₁ и y = k₂·x + b₂. Найти угол между ними.

Так как внешний угол φ₁ треугольника равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ними, то α = φ₁ - φ₂. Далее имеем

. Если же уравнения прямых заданы в общем виде A₁ x + B₁ y + C₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то известны векторы, перпендикулярные этим прямым N₁ = ( A₁, B₁ ), N₂ = ( A₂, B₂ ).
Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, поэтому угол между прямыми равен углу между векторами N₁, N₂.
Воспользовавшись формулой косинуса угла между векторами, получим

Условие параллельности прямых линий

Если прямые параллельны, то они одинаково наклонены к оси абсцисс φ₁ = φ ₂.

Откуда имеем tg φ₁ = tg φ₂ , следовательно, k₁ = k₂.
Если две прямые линии параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
Если же прямые линии заданы общими уравнениями A₁ x + B₁ y + C₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то их нормальные векторы коллинеарны. Воспользовавшись признаком коллинеарности векторов в координатной форме (пропорциональность соответствующих координат), получим условие параллельности прямых, заданных в общем виде

Условие перпендикулярности прямых линий

Внешний угол φ₁ треугольника равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ними, φ₁ = φ₂ + 90⁰.

Откуда найдём

. Или окончательно

Расстояние от точки до прямой линии

Даны точка М₀(x₀; y₀) и прямая, заданная уравнением в общем виде A·x + B·y + C = 0. Найдём расстояние от этой точки до заданной прямой.
Если подставить координаты точки М₀ в уравнение прямой, то A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + C = α ≠ 0, так как в противном случае точка М₀ лежала бы на прямой. Вычитая два последних соотношения, получим − α = A·( x - x₀ ) + B·( y - y₀ ).Правая часть последнего соотношения представляет собой скалярное произведение нормального вектора прямой линии и вектора

Так как

есть расстояние точки М до прямой, то получим окончательно формулу для вычисления расстояния заданной точки до заданной прямой

. Необходимым и достаточным условием того, что точка М₀(х₀, у₀) лежит между прямыми A₁ x + B₁ y + C₁ = 0 и A₂ x + B₂ y + C₂ = 0 является условие (A₁ x₀ + B₁ y₀ + C₁)·(A₂ x₀ + B₂ y₀ + C₂) < 0. Необходимым и достаточным условием того, что точка М₀(х₀, у₀) не лежит между прямыми A₁ x + B₁ y + C₁ = 0 и A₂ x + B₂ y + C₂ = 0 является условие (A₁ x₀ + B₁ y₀ + C₁)·(A₂ x₀ + B₂ y₀ + C₂) > 0.

Примеры

П р и м е р 1. Для треугольника с вершинами А( − 1; 2 ), В( − 3; − 1), С( 1; 3) найти уравнение высоты, проведённой через точку А.
Р е ш е н и е. Найдём уравнение стороны, проходящей через две точки В и С.

Так как высота, проведённая через точку А, перпендикулярна стороне ВС, то из условия перпендикулярности двух прямых

найдём угловой коэффициент высоты

. Для получения уравнения высоты воспользуемся уравнением пучка прямых линий y − y₀ = k ( x − x₀ ) или

.
П р и м е р 2.Для треугольника с вершинами А(− 1, 2), В(−3, − 1), С( 1, 3), используя математический пакет MAPLE, найти расстояние вершины А от стороны ВС.
Р е ш е н и е. Построим этот треугольник
> restart:with(linalg):with(plottools):with(plots):A:=[-1,2]:B:=[-3,-1]:C:=[1,3]:
> l:=polygonplot([A,B,C],color=green,thickness=3):
> tx1:=textplot([-1,2,'A'],align={ABOVE,LEFT}):tx2:=textplot([-3,-1,'B'],align={BELOW,LEFT}): tx3:=textplot([1,3,'C'],align={ABOVE,RIGHT}):plots[display](l,tx1,tx2,tx3);

Cоставим уравнение стороны ВС, как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

. > (x-C[1])/(B[1]-C[1])-(y-C[2])/(B[2]-C[2])=0;

Умножим обе части последнего уравнения на – 4:
> %*(-4);

Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой линии

. Используя библиотеку geometry, можно найти уравнения любой стороны треугольника и все его высоты.
> with(geometry):point(A,-1,2):point(B,-3,-1):point(C,1,3):_EnvHorizontalName := x: _EnvVerticalName := y: line(l,[B,C]):detail(l);distance(A,l);

Вопросы для самопроверки

Даны уравнения двух сторон треугольника 4·х − 5·у – 8 = 0, х − 4·у – 6 = 0. Точка ( 4; 2 ) пересечения медиан. Найти уравнение третьей стороны.
Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его сторон 4·х − 3·у + 5 = 0, 2·х − 3·у − 10 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 2·х− у − 2 = 0.
Составить уравнение сторон треугольника, если А(− 3; 4) и В(5; − 2) две его вершины, а М(3; 4) – точка пересечения его высот.
Уравнение одной из сторон квадрата 2·х − 3·у – 5 = 0. Составить уравнение остальных трёх сторон этого квадрата, если С(− 1; 0) точка пересечения его диагоналей.
Даны уравнения двух сторон параллелограмма 2·х− у − 1 = 0 и х + 2·у − 2 = 0. Известно, что его диагонали пересекаются в точке (− 1; 0). Найти уравнение диагонали, не проходящей через точку пересечения данных сторон.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку (− 3; − 2) и образующей с осями координат треугольник, который находится во второй четверти и имеет площадь 2,5 кв. ед.
Прямые 5·х − 3·у + 14 = 0 и 5·х − 3·у – 20 = 0 являются сторонами ромба, а прямая 2·х − 4·у − 4 = 0 его диагональю. Найти уравнение двух сторон ромба.
Точки А(4; 0) и В(6; 9) являются вершинами треугольника, а точка D есть точка пересечения его высот. Найти третью вершину треугольника.
Точки А(4; 6) и В(3; − 2) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая 2х − 3у − 12 = 0 является одной из его сторон. Найти уравнения остальных сторон ромба.
Прямая 7·x + 9·y − 11 = 0 является одной из сторон треугольника, а прямые 4·х + 5·у + 2 = 0 и 6·х + у − 11 =0 его высотами. Найти уравнение двух других сторон треугольника.
Напишите уравнение каждой из четырех прямых, изображенных на рисунке
Напишите уравнение прямой, параллельной биссектрисе первого координатного угла и проходящей через точку (0; − 5).
Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2·х + 1 и, кроме того: а) проходящей через точку (0; 2); б) проходящей через точку (1; − 1).