Найти расстояние от точки М0 (- 6,5,5) до плоскости, проходящей через три точки М1 (- 2 ,0, - 4), М2 (- 1, 7, 1) и М3 (4, - 8, - 4).
  Р е ш е н и е. Пусть точка М (x; y; z) принадлежит данной плоскости. Так как точки М, М1, М2, М3 лежат в одной плоскости, то векторы
компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю:
.
Воспользовавшись формулой смешанного произведения в координатной форме, получим
.
Разложим этот определитель третьего порядка по первой строчке
.
Разложив далее определители второго порядка, получим
40·(х + 2) + 30·у - 50·(z + 4) = 0.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим окончательно искомое уравнение плоскости:
4·х + 3·у - 5·z - 12 =0.
В этом уравнении А = 4, В = 3, С = - 5, D = - 12. Чтобы найти расстояние точки М0(– 6; 5; 5) до найденной плоскости, воспользуемся формулой расстояния точки до плоскости:
.
Подставив численные значения в эту формулу, получим искомое расстояние:
.
О Т В Е Т. Расстояние равно .

В математическом пакете MAPLE эта задача решается следующим образом:

> restart:with(geom3d):point(M0,-6,5,5):point(M1,-2,0,-4), point(M2,-1,7,1),point(M3,4,-8,-4): plane(p,[M1,M2,M3]):Equation(p,[x,y,z]);
- 120 + 40 x + 30 y - 50 z = 0
> distance(M0,p);