ВВЕРХ
П р и м е р 1. Привести к каноническому виду и построить график линии x 2 + y2 - 4 xy - 2 y + 1 = 0.
Р е ш е н и е. В данном случае a11 = 1, a12 = - 2, a22 = 1. Вычислим инварианты для рассматриваемой линии. Первым инвариантом является сумма коэффициентов при квадратах координатs = a11 + a22 = 2.
Вторым инвариантом линии является определитель, составленный из коэффициентов при старших членах:
.
Так как второй инвариант линии является отрицательным, то рассматриваемая линия является линией гиперболического типа.
Третий инвариант рассматриваемой линии равен
и кривая не распадается.
Составим уравнение
.
Для рассматриваемой линии это уравнение имеет видφ (λ) = λ2 - 2 λ - 3 = 0
и его решением является λ1 = 3, λ2 = -1. Упрощённое уравнение линии второго порядка будет иметь вид
,
т.е.
.
Канонический уравнение полученной гиперболы имеет вид
.
Это будет гипербола с действительной полуосью 
и мнимой полуосью 
.
Угловые коэффициенты новых осей координат в старой системе равны
(для новой оси x, соответствующей λ1)
и
(для новой оси y, соответствующей λ2)
Центр центральной кривой второго порядка (эллипса и гиперболы) определяется из системы уравнений
которая для рассматриваемого проимера имеет вид
Решая эту систему, находим точку 
, которая является началом новой системы координат и является центром кривой. Теперь можно построить график.
Пример 2. Привести к каноническому виду и построить график линии x 2 + y2 - 2 xy + 4 x - 6 y + 1 = 0.
Решение. Инвариантами линии являются s = 2, δ = 0, Δ = - 1. Так как δ = 0 и Δ ≠ 0, то линия является параболой.
Находим λ1 = 0, λ2 = 2. Направления новых координатных осей:
(ось Оx')
(ось Оy')
Уравнение оси параболы(a11 x + a12 y + a1) + k2 (a12 x a22y + a2) = 0,
или(x - y + 2) - (- x + y - 3) = 0,
или
.
Решая это уравнение совместно с уравнением кривой, находим координаты вершины параболы:
.
Уравнение новой оси Оу:
, или 
.
Каноническое уравнение этой параболы имеет видλ2 y'2 + 2 b1 x' = 0,
где 
.
Знак в правой части определяется направлением оси Ох'. Выражая у через х из уравнения кривой, получим
.
Следовательно, кривая расположена в области х ≥ - 4, т. е. справа от оси Оу'. Направив ось Ох' вправо, мы должны будем в
каноническом уравнении кривой взять знак плюс (а направив ось Ох' влево — знак минус).
График кривой изображен на рисунке.