СМОТРИ ДАЛЕЕ

ДОКАЖЕМ справедливость равенства для неколлинеарных векторов и .
Рассмотрим случаи, когда λ > 0, λ < 0, λ = 0.
   1) λ > 0. Построим на векторах и параллелограмм ОАСВ (рис. 1); вектор есть диагональ этого параллелограмма. Растянем векторы , , в λ раз; получим векторы , , . Соединим точку С1 с точками А1 и В1. Докажем, что четырёхугольник ОА1С1В1 — параллелограмм. По построению Δ ОАС подобен Δ ОА1С1: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, стороны, образующие эти углы пропорциональны, то эти треугольники подобны. Так как в подобных треугольниках соответствующие углы равны, то из этого по признаку параллельности прямых вытекает, что АС || А1С1, АС || OB по построению, значит А1С1 || ОВ по свойству транзитивности параллельных прямых. Параллельность сторон В1С1 и ОА1 доказывается аналогично из подобия треугольников ОСВ и ОС1В1. Итак, четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, является параллелограммом (см. признак параллелограмма).