an16_3

Следовательно,

, где

, то есть

Доказательство этого свойства для случая λ < 0 аналогично; изменится только чертёж (рис. 1), так как при умножении вектора на отрицательное число его направление меняется на противоположное.

На рис. 1

.
( Δ OA₁C₁ подобен Δ OAC ) ⇒ ( A₁C₁ || AC ),
( A₁C₁ || AC и OB || AC) ⇒ ( A₁C₁ || OB ),
( Δ OB₁C₁ подобен Δ OBC ) ⇒ ( B₁C₁ || BC ),
( B₁C₁ || BC и OA₁ || BC) ⇒ ( B₁C₁ || OA ),

,
( OB₁C₁A₁ ) – параллелограмм ) ⇒

Для случая λ = 0 равенство

очевидно. Таким образом, свойство распределительности умножения суммы векторов на число доказано для всевозможных значений λ.