an18_5

ОБЗОР ГЛ. 1

В этой главе Вы познакомились с векторами, которыми мы будем пользоваться, как инструментом для построения аналитической геометрии. Возникновение понятия «вектор» связано с тем, что величины бывают двух родов:

характеризующиеся только числом (время, температура и т. п.),
характеризующиеся числом и направлением (сила, скорость и т. п.).

   Величины первого рода называют скалярными, второго рода — векторными.
   Вектор — отрезок, соединяющий две данные точки пространства, прячём указано, какая из них является началом, а какая концом.
   Направлением вектора считается направление от начала к концу его.
   Модулем вектора называется его длина.
   Векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.
   Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными и противоположно направленными.
   Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.
   Векторы называются равными, если они:

имеют равные модули;
коллинеарны;
одинаково направлены.

Про два вектора всегда можно сказать, равны они или не равны, но нельзя сказать, что один из них больше или меньше другого; понятия «больше», «меньше» для векторов не определены.
Векторы называются противоположными, если они:

имеют равные модули,
коллинеарны,
направлены противоположно.

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль – вектором; Нуль - вектор считается коллинеарным с любым вектором, а также перпендикулярным любому вектору; вообще нуль вектору можно приписать какое угодно направление.
Суммой нескольких векторов называется вектор, замыкающий ломаную, составленную из слагаемых векторов так, что начало каждого звена, начиная со второго, совпадает с концом предыдущего, и направленный от начала ломаной к её концу (рис. 1):

Два неколлинеарных вектора можно складывать по правилу параллелограмма (рис. 2):

привести слагаемые векторы к общему началу;
построить на них параллелограмм;
провести вектор – диагональ из общего начала слагаемых векторов.

Разностью двух векторов

называется вектор, который нужно сложить с вектором

, чтобы получить вектор

(рис. 3).
Чтобы найти разность

, нужно

провести векторы и к общему началу;
провести вектор из конца вектора в конец вектора (рис. 3).

Вычитание вектора

из вектора

сводится к сложению вектора

с вектором

, противоположным вектору

.
Произведением

вектора

на число λ называется вектор:

1) коллинеарный с вектором ;
2) имеющий модуль, равный ;
3) направленный одинаково с , если λ > 0, и противоположно , если λ < 0.

Если λ = 0, то

.
Таким образом, умножение вектора на скаляр сводится к «растяжению» этого вектора в |λ| раз с сохранением направления при λ > 0 и с изменением направления на противоположное при λ < 0. Слово «растяжение» заключается в кавычки, так как при | λ| < 1 вектор не «растягивается», а «сжимается».
Сложение векторов и умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

— свойство переместительности сложения;
— свойство сочетательности сложения;
— свойство распределительности относительно суммы чисел;
— свойство распределительности относительно суммы векторов;
— свойство сочетательности умножения вектора на число.

Если векторы

коллинеарны, то каждый из них есть произведение другого на скаляр:

. Единичным называется вектор, модуль которого равен единице.
Любой вектор

можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор того же направления.
Осью называется прямая, на которой задано положительное направление.
Геометрической проекцией вектора AB на ось l называется вектор A₁B₁ , начало и конец которого являются проекциями начала и конца вектора AB на ось l (рис. 4).

Алгебраической проекцией (или просто проекцией) вектора AB на ось l (Пр_lAB) называется:

модуль вектора A₁B₁, если направление вектора A₁B₁ совпадает с положительным направлением оси l;
модуль вектора A₁B₁, взятый со знаком «минус», если направление A₁B₁ противоположно положительному направлению оси l .

Единичный вектор

, направление которого совпадает с положительным направлением оси, называется ортом этой оси,

. Угол ψ между вектором и осью (а также между двумя векторами или двумя осями) называется не превышающий 180⁰ угол между векторами тех же направлений, имеющими общее начало.

Теоремы о проекциях

Из определения следует
Следствие. Равные векторы имеют равные проекции.
Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых.
При умножении вектора на число его проекция на ось умножается на это число, т. е. числовой множитель можно выносить за знак проекции (в частности за знак проекции можно выносить минус, т. е. числовой множитель – 1).
Проекция разности двух векторов равна разности их проекций.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

. Скалярное произведение трёх и более векторов не определено.
В отличие от произведения чисел скалярное произведение векторов может быть равным нулю и тогда, когда ни один из сомножителей нулю не равен; а именно, когда векторы – сомножители взаимно перпендикулярны.
Равенство нулю скалярного произведения двух векторов есть необходимый и достаточный признак перпендикулярности этих векторов.
Скалярное произведение векторов обладает свойствами:

1) переместительности,
2) сочетательности (относительно скалярного множителя),
3) распределительности.

Скалярным квадратом называется скалярное произведение двух равных векторов:

. Модуль вектора выражается через скалярный квадрат соотношением

. Проекция вектора

на направление вектора

определяется соотношением

. Скалярное произведение вектора

и единичного вектора

есть проекция вектора

на направление вектора

ДАЛЕЕ ПРЕДЛАГАЕМ ОТВЕТИТЬ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ