Докажем эту теорему для вектора AB, рис. 1, не перпендикулярного ни к одной из координатных осей. Вектор A1B1 есть геометрическая проекция вектора AB на ось абсцисс, вектор A2B2 есть геометрическая проекция вектора AB на ось ординат. Приводя векторы A1B1 и A2B2 к общему началу А, по правилу параллелограмма сложения векторов можно записать
.
Теорема доказана.
   Пусть Х — проекция вектора AB на ось Ох, Y — проекция вектора AB на ось Оу. Выразим геометрические проекции A1B1 и A2B2 через Х и Y
,
откуда
.
Числа Х и Y в совокупности называются координатами вектора AB. Координатами вектора на плоскости называются проекции этого вектора на координатные оси. Введём обозначение AB[X, Y] — «вектор AB с координатами Х и Y.

ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ МАТЕРИАЛА РЕШИМ ЗАДАЧУ