В этой главе Вы научились переводить понятие «вектора» и «точки» с языка геометрии на язык чисел. Способ такого перевода называется методом координат. Вы познакомились с координатной осью, декартовой прямоугольной системами координат на плоскости и в пространстве.
Координатной (числовой) осью называется прямая, на которой даны:
1) направление;
2) начало отсчёта;
3) единичный отрезок.
Иначе говоря, координатная ось — это такая ось, на которой заданы точка О (начало координат) и орт.
Система декартовых прямоугольных координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные координатные оси — ось абсцисс (ось Ох) и ось ординат (ось Оу), имеющие общее начало координат.
Систему декартовых прямоугольных координат в пространстве представляют три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом: — ось абсцисс (ось Ох), ось ординат (ось Оу), ось аппликат (ось Оz) (рис. 1)
Координатой вектора
на оси называется число Х,
являющееся скалярным множителем в равенстве
, где 
—
орт координатной оси. Если и
направлены одинаково, то 
; если и направлены противоположно, то
Координатами (Х, Y) вектора на плоскости называются его проекции на соответствующие координатные оси.
Координатами (Х, Y, Z) вектора в пространстве называются его проекции на соответствующие координатные оси.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве являются координатами его геометрических проекций на оси координат на эти оси.
Равные векторы имеют равные координаты.
Каждый вектор на плоскости и в пространстве может быть представлен как сумма своих геометрических проекций на координатные оси.
На плоскости:
В пространстве:
Но 
. Тогда на плоскости
Координатами точки А называются координаты её радиуса - вектора.
С помощью координатной оси устанавливаются взаимно однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, т. е. каждой точке оси соответствует единственное число и каждому числу соответствует единственная точка оси.
С помощью декартовой прямоугольной системы координат на плоскости устанавливаются взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством всевозможных упорядоченных пар действительных чисел.
С помощью декартовой прямоугольной системы координат в пространстве устанавливаются взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством всевозможных упорядоченных троек действительных чисел.
При сложении векторов их одноименные координаты складываются.
Правило вычитания векторов аналогично.
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это же число; отсюда следует необходимый и достаточный признак коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Векторы взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, когда сумма произведений их одноименных координат равна нулю.
Модуль вектора
находится по формуле
Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами.
Указана связь между координатами любого вектора и координатами точек, являющихся его началом и концом; для вектора
, где 
и 
,
1) задачу деления отрезка в данном отношении;
2) задачу нахождения расстояния между двумя точками.
Разделить отрезок АВ в отношении λ - значит найти на прямой АВ такую точку М, что
направлены одинаково.
Если точка М лежит вне отрезка АВ, то говорят, что она делит отрезок АВ
внешним образом, в этом случае λ < 0,В обоих случаях координаты точки деления М находятся по формулам:
Расстояние d между двумя точками А( х1, y1, z1 ) и В ( х2, y2, z2 ) равно модулю вектора АВ (или ВА) и находится по формуле
