ВВЕРХ
Провести полное исследование и построить график функции
Провести полное исследование и построить график функции 
.
Р е ш е н и е. Функция определена для всех действительных значений аргумента.
Пользуясь правилами дифференцирования сложной функции, получим выражение первой производной
.
Приравнивая выражение первой производной нулю, и решая полученное уравнение, получим стационарную точку функции х = − 3. Значение функции в этой стационарной точке равно f (− 3) = 1. Кроме стационарной точки функция имеет угловую точку х = − 4. Значение функции в этой угловой точке f (− 4) = 0. Вычислим правый и левый пределы производной функции в х = − 4:
, 
.
Решая неравенство
,
получим интервалы знакоположительности первой производной: x 
(− 4; − 3). На этом интервале функция возрастает. Решая неравенство
,
получим интервалы знакоотрицательности первой производной: x (− ∞ ,− 4) 
(− 3, + ∞).
На этом интервале функция убывает.
Вычислим вторую производную:
.
Из выражения второй производной следует, что она всегда отрицательна, а значим, функция везде выпукла вверх.
Вертикальных асимптот функция не имеет, так как у неё нет точек разрыва второго рода. Будем искать наклонную асимптоту по формуле y = k·x + b, где
,
.
Вычислим эти пределы
,
.
Наклонных асимптот функция не имеет.
Построим итоговую таблицу
| x | (− ∞; − 4) | − 4 | (− 4; − 3) | − 3 | (− 3; + ∞) |
| y ′ | — | | + | 0 | — |
| y ″ | — | | — | — | — |
| у |  | у = 0 |  | у = 1 | |
Решение задачи в пакете MAPLE
> restart:f:=(х)->3*surd((x+4)^2,3)-2*x-8;
f:=x–>3surd((x+4)2, 3) - 2x - 8
> readlib (discont); discont (f(x),x); — видим, что функция определена для всех действительных
значений аргумента;
> df :=diff(f (x), x);— выражение первой производной
функции;
> solve (df=0, x ); evalf(subs (x=-3, f (x)));— стационарная точка функции и значение функции в этой
стационарной точке;
− 3
1
> solve (df>0, x );— находим интервалы
знакоположительности первой производной, на этом интервале функция возрастает;
> solve (df<0, x ); — находим интервалы
знакоотрицательности первой производной, на этом интервале функция убывает;
> discont (df, x ); — производная функции имеет разрыв
в точке;
{− 4}
> evalf (subs(x = -4,f(x)));— значение функции в точке разрыва
производной;
0
> Limit (df, x =-4,left)= limit (df, x =-4,left); — находим левую производную функции в угловой точке;
> Limit (df, x =-4,right)= limit (df, x =-4,right); — находим правую производную функции в угловой точке;
> extrema (f( x ),{},x);— если искать экстремальные значения функции имеющимися
средствами, то мы увидим только стационарное значение функции;
{ 1}
> diff (f( x ),x$2); — находим вторую производную;
> simplify(%);— упрощаем полученное выражение
второй производной;
> solve (diff( f (x), x $2)=0,x); — точек, в которых вторая производная обращается в ноль,
нет, точек перегиба нет;
> solve (diff( f (x), x $2)>0,x); — интервалы выпуклости вниз не определяются;
> solve (diff( f (x), x $2)<0,x); — интервалы выпуклости вверх не определяются;
> k :=Limit( f (x)/ x ,x= infinity )=limit( f (x)/ x ,x= infinity );— находим угловой коэффициент асимптоты;
> b:=Limit(f(x)+2*x,x=infinity)=limit(f(x)+2*x,x=infinity);— находим свободный член асимптоты;
> with(plottools):with(plots):g:=plot(f(x),x=-6..2,color=black,thickness=3):t1:=textplot([-5,-1.5,`минимум (-4,0)`],align={ABOVE,RIGHT}):
t2:=textplot([-1,1.2,`максимум (-3,1)`],align={ABOVE,LEFT}):display(g,t1,t2,tickmarks=[4,3]);— строим график функции.
