СОДЕРЖАНИЕ
| К СОДЕРЖАНИЮ ПЕРВОГО КУРСА | К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ |
| Лекция 1 | Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл производной . Физический смысл производной. Правило дифференцирования суммы. Правило дифференцирования произведения. Правило дифференцирования частного . Производная постоянной функции. Производная степенной функции. Производная тригонометрических функций. Производная функции f (x) = ln x. Вопросы для самопроверки. Дифференцируемость функции одной переменной Правила дифференцирования |
| Лекция 2 | Производная обратной функции. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование. Производная показательной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Пример. Таблица производных простейших элементарных функций. Дифференцирование в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки. Таблица производных. Часть 1 Таблица производных. Часть 2 |
| Лекция 3 | Определение дифференциала функции. Связь дифференциала функции с её производной. Геометрический смысл дифференциала . Формула линеаризации функции . Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Таблица дифференциалов . Производные высших порядков. Формулы для n - х производных некоторых функций. Формула Лейбница для n - й производной произведения двух функций. Дифференциалы высших порядков. Производная функции, заданная параметрически. Вопросы для самопроверки. Дифференциал |
| Лекция 4 | Теорема Ферма. Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Теорема Коши . Вопросы для самопроверки. Теорема Лагранжа. Теорема Коши |
| Лекция 5 | Обобщённая формула Коши. Формула Тейлора . Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. Обобщённая теорема Коши. Формула Тейлора. Формула Маклорена (Разложение функции y = ex) (Разложение функции y = sin x) (Разложение функции y = cos x) (Разложение бинома) Разложение дробно – рациональной функции на простейшие дроби. Первое правило Лопиталя. Второе правило Лопиталя. Решение задач в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки. Первое правило Лопиталя Второе правило Лопиталя Практика применения правила Лопиталя |
| Лекция 6 | Определение монотонности функции. Достаточные условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале. Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума . Достаточное условие экстремума . Исследование поведения функций в точке х0 с помощью производных высшего порядка (видео). Вопросы для самопроверки. Монотонность функции. (определения и теоремы) Монотонность функции. (Примеры) Экстремум скалярной функции скалярного аргумента. Теорема Ферма. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума скалярной функции скалярного аргумента. |
| Лекция 7 | Направление выпуклости вверх (вниз). Связь направления выпуклости функции со знаком второй производной . Определение точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба. Визуализация направления выпуклости в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки. Необходимые и достаточные условия выпуклости графика функции Выпуклость функции. Основные определения Точки перегиба Исследование поведения функций с помощью производных высших порядков Закон отражения света как задача на экстремум Задача на преломление света как задача на экстремум |
| Лекция 8 | Асимптоты функции. Вертикальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты. Наклонные асимптоты.
Общее исследование функции и построение графика. Кривизна плоской линии. Центр кривизны. Нормальная плоскость пространственной линии. Соприкасающая плоскость пространственной линии. Вопросы для самопроверки. Асимптоты графика функции Пример исследования на асимптотическое поведение функции |
ЗАДАНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
| Задание 1 | Составить уравнение касательной и уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой х0 |
| Задание 2 | Найти дифференциал функции |
| Задание 3 | Вычислить приближённо значение функции с помощью дифференциала |
| Задание 4 | Найти производную функции |
| Задание 5 | Найти производную функции |
| Задание 6 | Найти производную функции, заданной в параметрическом виде |
| Задание 7 | Построить графики функций с помощью производной первого порядка |
| Задание 8 | Построить графики функций с помощью производной первого порядка |
| Задание 9 | Найти наибольшее и наименьшее значения функций на данных отрезках |
| Задание 10 | Исследовать поведение функций в окрестности заданной точки с помощью производных высших порядков. Указать (k) порядок первой неравной нулю производной высшего порядка |
| Задание 11 | Провести полное исследование функций и построить график |
| Задание 12 | Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций одного аргумента |
| Тест 1 | Дифференциальное исчисление. |
| Тест 2 | Дифференциальное исчисление. |