ВВЕРХ
Провести полное исследование и построить график функции 
.
Решение. Областью определения функции является множество x Î (− ∞, − 1) 
(− 1, + ∞). Вычислим левый и правый предел функции в точке х = − 1:
,
.
Таким образом, точка х = − 1 является точкой разрыва второго рода.
Первая производная функции имеет вид
.
Найдём интервалы знакопостоянства первой производной
Вторая производная имеет вид
.
Найдём интервалы знакопостоянства второй производной
Построим таблицу
| х | (− ∞; − 4) | − 4 | (− 4; − 1) | − 1 | (− 1; 0) | 0 | (0; + ∞) |
| y ′ | + | 0 | — | | — | — | + |
| y ″ | — | — | — | | + | 0 | + |
| у |  |  |  | |  | ymin = 0 |  |
В последней строчке этой таблицы уже отмечаются характерные особенности поведения функции.
Отмеченные стрелки стыкуются по точкам с координатами 
и (0; 0).
Отмеченная тёмным цветом линия с абсциссой х = − 1 является вертикальной асимптотой.
Найдём параметры наклонной асимптоты у = k·x + b:
,
.
Уравнением наклонной асимптоты будет у = x – 3. По полученным данным построим график функции
Выполнение задание в пакете MAPLE
>f :=(x)-> x ^4/(x+1)^3; — задаётся функция.
>readlib(discont);
>discont (f( x ),x); — определяется точка разрыва функции.
>Limit (f( x ),x=-1, left )=limit( f (x), x =-1,left); — вычисляется левый предел в точке разрыва функции.
>Limit (f( x ),x=-1, right )=limit( f (x), x =-1,right); — вычисляется правый предел в точке разрыва функции.
>dF :=diff( f (x), x );normal(%); — вычисляется и упрощается первая производная функции.
>s :=[solve( dF =0,x)]; — находятся стационарные точки функции.
s:= [4, 0, 0, 0]
>f (s[1]); f (s[2]); — находятся значения функции в этих стационарных точках.
0
>solve (dF>=0, x );solve( dF <=0,x); — находятся знакоположительности и знакоотрицательности первой производной.
>ddF :=diff( dF ,x); simplify (%);— находится и упрощается вторая производная.
>solve (ddF=0, x );— находится нули второй производной, однако, как видно из вышесказанного, эта точка не является точкой перегиба.
0, 0
>k:=Limit(f(x)/x,x=infinity)=limit(f(x)/x,x=infinity);— находится угловой коэффициент асимптоты
>b:=Limit(f(x)-x,x=infinity)=limit(f(x)-x,x=infinity);simplify(expand( f (x)- x ));
— находится второй параметр асимптоты, упрощается выражение, от которого необходимо было вычислить предел.
>with(plots):with(plottools):
>g3:=plot([f(x),x-3],x=-15..10,y=-15..10,linestyle=[1,3],color=[black,blue],discont
= true,thickness=[2,1]):g4:=line([-1,-15],[-1,10],color=black,linestyle=3):display(g3,g4);
–с учётом имеющейся точки разрыва строится график функции.
