К разделу
ЛЕКЦИЯ 1 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Определение производной
  2. Непрерывность дифференцируемой функции
  3. Геометрический смысл производной
  4. Физический смысл производной
  5. Правило дифференцирования суммы
  6. Правило дифференцирования произведения
  7. Правило дифференцирования частного
  8. Производная постоянной функции
  9. Производная степенной функции
  10. Производная тригонометрических функций
  11. Производная функции y = ln x
  12. Анимация геометрического смысла производной в пакете MAPLE
  13. Вопросы для самопроверки

Определение производной

   Пусть на некотором промежутке Х определена функция y = f (x). Возьмём любую точку х0 Х и зададим аргументу х в точке х0 произвольное приращение Δ x такое, что точка х0 + Δ x также принадлежит Х. Функция получит приращение Δy = f (x0 + Δ x) − f (x0).
   Производной функции у = f (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → 0 (при условии, что этот предел существует)
.
   Правой производной функции у = f (x) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → + 0 (при условии, что этот предел существует)
.
   Левой производной функции у = f (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → − 0 (при условии, что этот предел существует)
.
   Если левая производная функции у = f (x) в точке х0 совпадает с правой производной функции у = f (x) в этой точке, то эти односторонние производные совпадают с самой производной функции в данной точке. Если для некоторого значения х0 выполняется условие
(или ),
то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус).

Непрерывность дифференцируемой функции

   Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема.
   Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.
   Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна.
   Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная
.
Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношение
,
где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0.    Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке. Примером может служить функция , график которой представлен на рисунке ниже
Для этой функции левая и правая производные не совпадают, хотя функция обладает свойством непрерывности.
   Если функция y = f (x) имеет конечную производную в каждой точке х Х, то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на Х.

Геометрический смысл производной

   Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b) и пусть точка М0 на графике функции соответствует значению аргумента х0, а точка M – значению х0 + Δx. Проведем через точки М0 и M прямую и назовем ее секущей. Обозначим через φ(Δx) угол между секущей и осью Ох. Если существует предел
,
то прямую с угловым коэффициентом k = tg φ0, проходящую через точку М0 (х0, f(x0)), называют предельным положением секущей М0M при Δx → 0.
   Определение. Касательной τ к графику функции y = f(x) в точке М0 будем называть предельное положение секущей М0M при Δx → 0.
   Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел
,
причем значение предела φ0 равно углу наклона касательной к оси Ох. Если функция y = f(x) имеет в точке х0 производную, то существует касательная к графику функции y = f(x) в точке М0(х0, f(x0), причем угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной f ' (x0). Нажми на линк для просмотра рисунка
   Действительно, из треугольника M0MP получаем, что тангенс угла наклона хорды равен
.
Из определения производной функции в точке при Δx → 0 следует
.
Из непрерывности функции tg α следует
,
cледовательно, существует предел и левой части равенства. Таким образом, получаем
.
Это означает, что существует касательная к графику функции y = f(x) в точке М0(х0, f(x0)), причем угол наклона φ0 этой касательной к оси Ох равен arctg f '(x0) и, значит, угловой коэффициент касательной равен
tg φ0 = f ' (x0),
что и требовалось доказать.
   Итак, производная функции y = f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке М0(х0, f(x0)). Воспользовавшись уравнением пучка прямых, получим уравнение касательной, проведённой к графику функции в данной точке
y - y0 = f ' (x0)·( x - x0 ).
Геометрически дифференцируемость функции в точке означает наличие определённой касательной в точке.
 Прямая, перпендикулярная касательной, проведённой к графику функции в данной точке, называется нормалью, проведённой к графику функции в данной точке (Нажми на линк для просмотра рисунка). Используя условие перпендикулярности прямых с угловым коэффициентом и уравнение пучка прямых, получим уравнение нормали в виде
.
 Длина Т отрезка АМ0 касательной называется д л и н о й касательной. Проекция этого ортезка на ось ОХ, т.е. отрезок АС казывается п о д к а с а т е л ь н о й. Длина N отрезка ВМ0 называется длиной нормали. Проекция отрезка ВМ0 на ось ОХ называется поднормалью.

Физический смысл производной

   Предположим, что функция у = f (x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т.е. y = f (x) — путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х. Тогда за время х0 пройден путь y0 = f (x0), а за время х1 — путь y1 = f(x1). За промежуток времени Δх= х1 - х0 точка М пройдет отрезок пути Δ y = f (x1) - f (x0) = f (х0+ Δх) - f(x0).
   Отношение  называется средней скоростью движения за время Δх, а предел отношения  определяет мгновенную скорость точки в момент времени х0. Производная функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в данной точке.

Правило дифференцирования суммы

   Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то
( u ± v ) ' = u ' ± v '.
Доказательство. Из определения производной получим:

что и требовалось доказать.

Правило дифференцирования произведения

   Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то
( u · v ) ' = u '·v + v ' · u.
Доказательство. По определению производной имеем


Здесь учтена связь между дифференцируемостью и непрерывностью:
.

Правило дифференцирования частного

   Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то
.
   Для вывода этого правила дифференцирования частного воспользуемся правилом дифференцирования произведения. Введём обозначение
.
Из этого соотношения получим
u (x) = φ(x)·v(x).
Продифференцируем левую и правую части этого равенства
u ' = φ'·v + φ·v',
откуда окончательно получим искомое правило
.

Производная постоянной функции

   Производная константы равна нулю (C)' = 0.
   Доказательство. Для любых х и Δx имеем f (x) = C, f (x + Δx) = C, вследствие чего имеем
Δ y = f ( x + Δ x ) − f( x ) = 0.
Отсюда  при любом Δx ≠ 0 и, следовательно,

Производная степенной функции

   Производная функции y = xn, где показатель n является натуральным числом, выражается формулой
y' = n·x n-1.
Доказательство. Используя формулу бинома Ньютона, можно записать:
Таким образом, при Δx ≠ 0 имеем
Выполняя предельный переход при Δ x → 0, получаем
.

Производные тригонометрических функций

   Производная функции y = sin x выражается соотношением
y ' = cos x.
Доказательство. Имеем
.
Таким образом, при Δx ≠ 0
.
Так как
(первый замечательный предел), а
в силу непрерывности функции cos x, то
Производная функции y = cos x выражается формулой
y ' = − sin x.
Доказательство. Имеем
.
Таким образом, при Δx ≠ 0
.
Так как
в силу непрерывности функции sin x, то
   Производная функции y = tg x выражается формулой
.
Доказательство. Так как
,
то, воспользовавшись правилом дифференцирования дроби, получим
.
   Следовательно,
Аналогично доказывается
.

Производная функции y = ln x

   Найдём приращение функции
.
Воспользовавшись непрерывностью логарифмической функции и вторым замечательным пределом, получим
Для логарифмической функции с произвольным основанием имеем
.

Анимация геометрического смысла производной в пакете MAPLE

> restart:with(plots):f:=(x)->x^4:f1:=plot(f(x),x=2..6):fig:=proc(n::integer);display({plot(subs(b=5-0.01*n,f(2)+((f(b)-f(2))/(b-2))*(x-2)),x=2..6,color=blue,thickness=2),f1});end:
> display([seq(fig(i),i=1..290)],insequence=true,axes=BOXED);

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение производной функции y = f (x) в точке х0.
  2. Каков геометрический смысл производной функции y = f (x) в точке х0?
  3. Дайте определение касательной к графику функции y = f (x) в точке (х0; f (x0)) и напишите уравнение касательной.
  4. Каков физический смысл производной функции у = f (x) в точке х0?
  5. Дайте определение правой (левой) производной функции y = f (x) в точке х0. Какова связь между односторонними производными и производной функции в точке х0?
  6. Приведите пример функции, у которой существуют правая и левая производные в некоторой точке, но не существует производная в этой точке.
  7. Докажите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций.
  8. Почему при доказательстве правил дифференцирования произведения имеет место равенство
    ?
  9. Выведите формулы для производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции.
  10. Почему при выводе формулы производной логарифмической функции знаки функции и предела поменяли местами?