К разделу
ЛЕКЦИЯ 2 К СОДЕРЖАНИЮ

  1. Производная обратной функции.
  2. Производная сложной функции.
  3. Логарифмическое дифференцирование.
  4. Производная показательной функции.
  5. Производные обратных тригонометрических функций.
  6. Примеры вычисления производных.
  7. Таблица производных простейших элементарных функций.
  8. Дифференцирование в пакете MAPLE.
  9. Вопросы для самопроверки.

Производная обратной функции

   Пусть f : [a, b] → [c, d] непрерывная, строго монотонная на интервале [a, b] функция, имеющая производную в точке х0 [a, b]. Тогда обратная функция g = f -1: [c, d] →[a, b] имеет производную в точке y0 = f(x0) интервала [c, d] равную
,
если f '(x0) ≠ 0. Если f '(x0) = 0, то g '(y0) = + ∞ (в случае, когда f возрастает), и g '(y0) = − ∞ (в случае, когда f убывает).
   Доказательство. Пусть f (x) возрастает на [a, b] и f '(x) ≠ 0. Тогда в окрестности точки y0 = f (x0) существует обратная функция g = f -1; она непрерывна и также возрастает на [c, d], в силу чего g (y) ≠ g(y0), если у ≠ у0. Таким образом,
.

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a1, b1] → [c1, d1], причём [a1, b1] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х0 [a, b], а функция g дифференцируема в точке y0 = f (x0) [a1,b1], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х0 производную, равную
g ' ( f ( x0 ) )·f ' ( x0 ).
Доказательство. Так как функция g(y) дифференцируема в точке у0, то имеем
Δ g (y) = g ' (y0)·Δy + δ(Δy)·Δy,
где δ(Δ y) → 0 при Δ y → 0. Так как функция f (x)дифференцируема в точке х0, то имеем
Δ y = f ' ( x0 )·Δx + ε (Δx)·Δx,
где ε(Δх) → 0 при Δ х → 0. Поставляя второе соотношение в первое, получим
Разделив обе части последнего соотношения на Δх, получим
.
Переходя к пределу при Δх → 0 в левой и правой части последнего равенства с учётом непрерывности рассматриваемых функций, получим
g ' ( f ( x ) )|x0 = g ' (y0)·f ' (x0).
Что и требовалось доказать.

Производная степенной функции с произвольным показателем степени. Логарифмическое дифференцирование.

   Прологарифмируем соотношение f(x) = xλ по натуральному основанию
ln f(x) = ln xλ = λ·ln x.
Продифференцируем правую и левую части этого равенства
.
Из этого равенства найдём
.
Откуда видно, что форма записи производной степенной функции остаётся прежней, что и для натурального показателя степени.
   Рассмотрим прием, который упрощает дифференцирование выражений. Часто приходится дифференцировать выражения, в которых действия умножения, деления, возведения в любую степень очень усложняют задачу. Рассмотрим логарифмическое дифференцирование на примере функции y = u(x)v(x), причём u(x) > 0 и u(x) и v(x) являются дифференцируемыми. Прологарифмируем правую и левую часть, тогда с учётом свойства логарифма получим
.
Воспользуемся правилами дифференцирования
,
откуда окончательно получим

Производная показательной функции

   Воспользуемся логарифмическим дифференцированием и получим производную показательной функции f (x) = ax. В соответствии с применяемым правилом, прологарифмируем правую и левую части по натуральному основанию
ln f(x) = ln ax = x·ln a,
дифференцируя правую и левую части этого равенства, получим
,
откуда найдём
f '(x) = ax·ln a,
В частном случае a = e производная показательной функции имеет более простой вид
.

Производные обратных тригонометрических функций

   Пусть f (x) = arctg x. По теореме о производной обратной функции имеем
.
   Пусть y = arcsin x. По теореме о производной обратной функции имеем
.

Примеры вычисления производных

Пример 1. Вычислить производную функции
.
Решение.
.
   Пример 2. Вычислить производную функции y = earctg x.
   Решение. Данную функцию можно представить в виде y = eu, где u = arctg x. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем
.
Заменяя u на arctg x, окончательно получим
.
   Пример 3. Вычислить производную функции
.
Решение. Данную функцию можно представить в виде y = u2, где u = tg v, v = √ω, ω = x2 + 1.
   Используя правило вычисления производной сложной функции, получаем

Таблица производных простейших элементарных функций

  1. (C)' = 0,
  2. (x α) ' = α·x α-1 , в частности , (,
  3. , в частности, ,
  4. , в частности, (ex)' = ex,
  5. (sin x)' = cos x,
  6. (cos x)' = − sin x,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. ,
  11. ,
  12. .
   Формулы, приведенные в таблице, а также правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции являются основными формулами дифференциального исчисления.
   На основе правил и формул дифференцирования можно сделать важный вывод: производная любой элементарной функции также элементарная функция. Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Дифференцирование в пакете MAPLE

> restart: f := x ->tan(x)+3*x; D(f)(Pi/3); — вычисление значения производной в данной точке.

7

>diff(f(x),x); или

> D(f)(x); — вычисление производной по аргументу

Вопросы для самопроверки

  1. Какова связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции в точке? Приведите пример функции, непрерывной в точке, но не дифференцируемой в этой точке.
  2. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
  3. Каков геометрический смысл теоремы о производной обратной функции?
  4. Выведите формулы производных для показательной функции и обратных тригонометрических функций.
  5. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
  6. Применима ли теорема о производной сложной функции к функции sin √x в точке х = 0? Существует ли производная этой функции в точке х = 0?
  7. В чем состоит приём логарифмического дифференцирования?
  8. Выведите формулу производной для степенной функции с любым вещественным показателем.
  9. Почему операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций?