К разделу
ЛЕКЦИЯ 3 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Определение дифференциала функции.
  2. Связь дифференциала функции с её производной.
  3. Геометрический смысл дифференциала.
  4. Формула линеаризации функции.
  5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
  6. Таблица дифференциалов.
  7. Производные высших порядков.
  8. Формулы для n - х производных некоторых функций.
  9. Формула Лейбница для n - й производной произведения двух функций.
  10. Дифференциалы высших порядков.
  11. Производная функции, заданная параметрически.
  12. Вопросы для самопроверки.

Определение дифференциала функции

   Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента
Δ f = A·Δx + o(Δx),
то есть df = A·Δx.

Связь дифференциала функции с её производной

   Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение аргумента
dy = f '(x0)·Δx.
В данном случае A = f ' (x0).
   Действительно,
.
Дифференциал есть функция двух переменных, он зависит от аргумента x и приращения Δ x.
   Если считать, что y = x, то по определению дифференциала функции dx = 1·Δ x. Значит, dx = Δ x и dy = f ' (x0)· Δ x.

Геометрический смысл дифференциала

   Построим график функции y = f (x). В точке M(x, f (x))  проведем касательную MT. Как известно, tg α = f ' (x), из Δ ТМР имеем TP = MP· tg α, MP = Δ x = dx, поэтому
TP = f '(x)·dx = dy.
Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной.
   Замечание. Из определения дифференциала следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента
.

Формула линеаризации функции

   Определение дифференциала позволяет получить формулу для приближённого вычисления значений функции в некоторой окрестности S(x0, δ) точки х0. Полагая Δ f(x) ≈ d f (x0), получим формулу
f (x) ≈ f (x0) + d f (x0).
При х ® х0 погрешность вычисления по этой формуле есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δ х.
   Пример 1. Вычислить приближённо значение .
   Решение. В данном примере функция имеет вид где х = 8,24 и х0 = 8. В этом случае , приращение аргумента Δ x = x - x0 = 8,24 − 8 = 0,24, производная функции в точке х0 = 8
.
Найдём дифференциал функции
.
Используя формулу линеаризации, получим окончательно
.

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

   Пусть y = f ( u ( x )) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем
df = f '(x)·u '(x)·dx.
Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим
df = f '(u)·du.
Что совпадает с соотношением dy = f '(x)·dx.
   Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.
   Пример 2.
.

Таблица дифференциалов

1d(u + v) = du + dv 2d(u·v) = v·du + u·dv
34d(sin u) = cos u·du
5 d(cos u) = − sin u·du6
78
9d(eu) = eu·du10
1112
1314
1516

Понятие производной n - го порядка

   Производная f '(x) функции y = f (x) сама является некоторой функцией аргумента x. Следовательно, по отношению к ней опять можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются y'', y''', y(4), y(5), …, y(n) …. Производная n - го порядка является производной от производной (n -1)-го порядка, т.е. y(n) =(y(n-1) )'. Если функция y = f (x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная f '(x) есть мгновенная скорость точки в момент времени x, а вторая производная равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.

Формулы для n - х производных некоторых функций

   Вычислим n - ю производную степенной функции y = xα, x > 0,  (α-любое вещественное число).
    Последовательным дифференцированием получим
Если α = m, где m — натуральное число, получаем
   Вычислим n - ю производную показательной функции y = ax (0 < a ≠ 1). Последовательным дифференцированием получим
В частности, для y = ex и любого n имеем
   Вычислим n - ю производную функции y = sin x. Последовательным дифференцированием получим
Таким образом, производную любого порядка от sin x можно вычислять по формуле
Например,
Аналогично получается формула для вычисления n - й производной функции y = cos x:

Формула Лейбница для n - й производной произведения двух функций

   Пусть y = u·v, где u и v — некоторые функции от переменной x, имеющие производные любого порядка. Тогда
.
где есть число сочетаний из n элементов по k (k = 0, 1, 2, …, n). Доказательство. Для k = 1 имеем
для k = 2 имеем
для k = 3 имеем
Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома (u + v)n по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: u(0) и v(0).
   Пусть формула Лейбница справедлива при k = n:
.
Докажем, что формула справедлива при k = n + 1. Действительно, в этом случае
Здесь воспользовались свойством сочетаний . Изменим индекс суммирования во второй сумме, положив k = p - 1. В этом случае
и в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. После обозначения общего индекса суммирования через р, будем иметь
.
Так как и , получим
.
   Пример 3. Вычислить n - ю производную (n ≥ 2) функции y = x2·cos x.
   Решение. В этом случае u = cos x  и v = x2 и
Подставляя в формулу Лейбница, получаем

Дифференциалы высших порядков

      Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):
δ (d y) = δ [f ' (x) d x] = [f ' (x) d x] ' δ x = f '' (x) d(x) δx .
Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δx = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d2y, т.е.
d2y = f ''(x)·(dx)2.
В свою очередь, дифференциал δ(d2y)  от дифференциала d2y, взятый при δx = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d3y и т.д. Дифференциал δ(dn-1y) от дифференциала dn-1f, взятый при δx = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f(x) и обозначается dny.
   Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула
dny = y(n)·(dx)n, n = 1, 2, …                     (3.1)
   При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1
dn−1y = y(n−1)·(dx)n−1,
и функция y(n-1)(x) дифференцируема в некоторой точке x. Тогда
Полагая δx = dx, получаем
что и требовалось доказать.
   Для любого n справедливо равенство
или
т.е. n - я производная функции y = f ( x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.
   Пример 4. Вычислить дифференциал d3y функции
y = x4 - 3 x2 + 4.
   Решение. Последовательным дифференцированием получаем
Следовательно, d3y = y'''(x)·(dx)3 = 24 x (dx)3.

Производная функции, заданной параметрически

   Пусть функция задана параметрически
В этом случае производную y '(x) можно найти как производную сложной функции
,
где точкой указывается производная по параметру t.
   Пусть существуют вторые производные функций φ(t) и ψ(t) при некотором значении параметра t. Тогда можно вычислить вторую производную функции, заданной параметрически. Заметим, что первая производная
,
сама является функцией, заданной параметрически
и x = φ (t).
Следовательно,
.
Используя правило дифференцирования частного, получим
                     (3.2)
   Аналогично можно получить производную от y по x любого порядка.
   Пример 5. Найти y''(x), если x = φ (t) = ψ(t) = cos t, y = sin t (0 ≤ t ≤ π).
   Решение.
,
, .
Используя далее формулу (3.2), найдем

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение дифференцируемости функции в точке х0.
  2. Какова связь между понятиями дифференцируемости функции в точке и производной функции в этой точке? Докажите соответствующую теорему.
  3. Может ли функция, имеющая производную в точке, быть непрерывной в этой точке?
  4. Дайте определение дифференциала функции в точке х0.
  5. Что называется главной, линейной относительно Δх частью приращения функции f (x)?
  6. Каков геометрический смысл дифференциала?
  7. Докажите, что d (u ± v ) = du ± dv .
  8. Дайте определение второй производной функции y = f (x).
  9. Дайте определение n - й производной функции y = f (x).
  10. Выведите формулу Лейбница.
  11. Дайте определение n - го дифференциала функции y = f (х).
  12. Когда говорят о параметрическом задании функции?
  13. При каких условиях справедлива формула для производной функции, заданной параметрически?