К разделу
ЛЕКЦИЯ 4   К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Теорема Ферма.
  2. Теорема Ролля.
  3. Геометрический смысл теоремы Ролля.
  4. Теорема Лагранжа.
  5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
  6. Теорема Коши.
  7. Вопросы для самопроверки.

Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда f '(x0) = 0.
   Доказательство. Пусть для определенности функция f (x) в точке x0 имеет наибольшее значение, т.е. f (x) ≤ f (x0) для любого x Î (a, b). Это значит, что Δ y = f(x0 + Δx) - f(x0) ≤ 0 для любого приращения аргумента Δ x и x0 + Δ x Î (a, b).
   Если Δx > 0, имеем
,
если же Δx < 0, то
.
По условию f ' (x0) существует и, значит,
.
Это возможно только в случае, когда
.
   Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что, если в точке x0 дифференцируемая функция f(x) имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке (x0; f (x0)) касательная к графику функции f (x) параллельна оси Ox.
   Замечание. Теорема неверна, если функцию f (x) рассматривать на замкнутом отрезке [a, b]. Например, функция f (x) = x на отрезке [0; 1] в точке x = 0 принимает наименьшее, а в точке x = 1 — наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Теорема Ролля

   Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.
   Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.
   Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.
   Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

   Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx.

Теорема Лагранжа

   Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство
f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение  хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))
y = f(a) + Q·(x - a),
где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды
F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a).
Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует
.
И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

   Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M1 (a; f(a)) и M2(b; f (b)) графика функции у = f(x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка "c" такая, что касательная к графику в точке (c; f(c)) параллельна секущей M1M2. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.
   Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации
f (x) − f (x0) ≈ f '(x0)·(x −x0).
Отличие только лишь в выборе точки для подсчета значения производной и в знаке равенства.

Теорема Коши

   Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
   Рассмотрим функцию
.
Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c Î (a, b) , такая ,что F ' (c) = 0. Так как
,
то
.
Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте теорему Ферма. В чем состоит ее геометрический смысл?
  2. Приведите пример функции, принимающей наименьшее значение в точке и не имеющей производной в этой точке. Что отсюда следует?
  3. Сформулируйте теорему Ролля и раскройте ее геометрический смысл.
  4. Останется ли справедливой теорема Ролля, если опустить одно из ее трех условий? Приведите соответствующие примеры.
  5. Сформулируйте теорему Лагранжа и объясните ее геометрический смысл.
  6. Сформулируйте теорему Коши.
  7. Покажите что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.
  8. Докажите теорему Ферма.
  9. Докажите теорему Ролля.
  10. Докажите теорему Лагранжа.
  11. Докажите теорему Коши.