К разделу
ЛЕКЦИЯ 5 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Обобщённая формула Коши.
  2. Формула Тейлора.
  3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
  4. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби.
  5. Первое правило Лопиталя.
  6. Второе правило Лопиталя.
  7. Решение задач в пакете MAPLE.
  8. Вопросы для самопроверки.

Обобщённая формула Коши

   Если функции F(x) и G(x) непрерывны на отрезке [а; b] и ( n + 1) – кратно дифференцируемы в интервале (а; b), G(k)(x) не обращаются в ноль в ( а; b), F(k)( а ) = G(k)( а ) = 0 (k = 0, 1, …, n), то существует такая точка с Є (а; b), для которой справедливо соотношение
.
   Доказательство. По теореме Коши существует такая точка с1 Є ( а; b), для которой справедливо равенство
.
   Применяя теорему Коши ещё раз к промежутку ( а, с1), получаем существование точки с2 Є ( а, с1) и равенство
.
Продолжая, таким образом, дальше, найдём после n шагов точку с Є ( а; cn), для которой справедливо равенство
.
Что и требовалось доказать.

Формула Тейлора

   Пусть функция f ( x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула
.
   Доказательство. Положим
, .
   Функция F(x) имеет производные до порядка n + 1 вместе с функцией f (x). Функция G(x) имеет производные всех порядков, причём её производные положительны при х > a. Легко проверить, что
,
и поэтому F (m)(а) = f (m)(а) – f (m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n. Так как G(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n, то выполнены все условия обобщённой формулы Коши. При этом очевидно, что
F (n + 1)(х) = f (n + 1)(х), G(n + 1)(х) = (n + 1)!
Применение обобщённой формулы Коши к этим функциям приводит к соотношению
,
откуда и получается формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
.
Как видно, функция раскладывается на две части. Главная часть
называется многочленом Тейлора порядка n. Второе слагаемое
называется остаточным членом функции в форме Лагранжа.
   Если в формуле Тейлора положить а = 0, то последняя обращается в формулу Маклорена
,
где с Є (0; х). Формула Тейлора позволяет функцию f (x), возможно, сложной природы, заменить приблизительно сравнительно простой функцией — многочленом.

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклонена

,
,
,
,
   Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций.
   Пример 1. Вычислить предел .
   Решение. Используя разложение функции sin x, имеем
   Пример 2. Вычислить предел .
   Решение. Используя разложения функций, входящих в выражение предела, имеем

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

   Если в рациональной дроби показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя (рациональная дробь правильная) и корни знаменателя действительные, то эту дробь можно разложить на простейшие
Здесь n1 + n2 + … + nk = m. Коэффициенты разложения А1,…,Сnk есть коэффициенты Тейлора , для соответствующих функций F( x).
   Для коэффициентов Аi эта функция имеет вид
.
   Для коэффициентов Вi эта функция имеет вид
.
   Пример 3. Разложить дробь на простейшие.
   Решение. Представим дробь в виде
.
Для нахождения коэффициентов А1,2 составим функцию
и найдём коэффициенты Тейлора при х = 1
,
.
   Для нахождения коэффициентов В1,2,3 составим функцию
и найдём коэффициенты Тейлора при х = 2
,
,
.
   Таким образом, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
.

Первое правило Лопиталя

   Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x) ≠ 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение
при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
   Теорема. Если при указанных условиях
,
то и
.
   Доказательство. Предположим, что ∞ < A < + ∞. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х0 так, чтобы в интервале (а, x0) выполнялось неравенство
.
Применим теорему Коши к отрезку [а, x0], Если х Є [а, x0], то существует такая точка с Є [а, x], что
и, следовательно, для всех х Є [а, x0] справедливо неравенство
.
Это означает, что .

Второе правило Лопиталя

   Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (a, b) (может быть, бесконечном) и g' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что
.
Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида .
   Теорема. Если при указанных условиях
,
то и
.
   Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа ε > 0 выберем х0 так, чтобы в интервале (а, x0) выполнялось неравенство
.
Определим функцию D(x, x0) из условия
.
Имеем
при x → a + 0. Применяя к отрезку [x, x0] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с Є [x, x0]
Отсюда для всех х, для которых | D( x, x0) - 1 | < ε, находим
Так как ε произвольно мало, то , что и требовалось доказать.
   Пример 4. Вычислить предел .
   Решение.
.
   Пример 5. Вычислить предел .
   Решение.
.
Замечание. Если производные f ' (x) и g ' (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f (x) и g (x), то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем

Решение задач в пакете MAPLE

   Используя пакет MAPLE, можно искать многочлен Тейлора произвольного порядка.

> e := taylor(sin(x), x = 0,9); — нахождение разложения функции у = sinx до порядка 9.
> p:= convert(e,polynom); — выделение из данного разложения многочлена Тейлора седьмой степени.
> plot([sin(x),p],x=-5..5,thickness=2,color=[red,green]);- сопоставление функции (красный цвет) и её многочлена Тейлора (зелёный цвет).
   Из иллюстрации видно, что многочлен Тейлора с достаточной степенью точности описывает функцию на некотором интервале. И чем больше порядок многочлена Тейлора, тем больше этот интервал.
   В пакете MAPLE есть возможность представления рациональной дроби в виде суммы простейших дробей:
> f:= x /((x-1)^2*(x - 2)^3);
> convert(f, parfrac, x );— эта функция представляется в виде суммы простейших дробей

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте обобщённую теорему Коши.
  2. Запишите формулу Тейлора разложения функции в окрестно-сти данной точки. Какие условия должны быть выполнены в этом случае?
  3. Что называется многочленом Тейлора степени n для функции f (х)?
  4. Получите остаточный член формы Пеано из формы Лагранжа.
  5. Что называется формулой Маклорена для функции f(х)? Напишите остаточные члены этой формулы в формах Лагранжа и Пеано.
  6. В каком случае остаточный член в формуле Тейлора обращается в нуль? Приведите пример.
  7. При каких значениях х касательные к графику функции у = х3− х параллельны прямой у = х?
  8. Под каким углом к оси Ох кривая у = 2 х3 − х пересекает ось Оу?
  9. В точках (0; 0), (2; 1), (4; 0) проведены касательные к параболе
    .
    Найдите углы их наклона к оси Ох.
  10. Напишите уравнение касательной к графику функции
    в точке его пересечения с осью абсцисс.
  11. Найдите угол наклона к оси Ох касательной к гиперболе y x = 1 в точке (1; 1).
  12. При каком значении α кривая
    пересекает ось Ох под углом 45° (хотя бы в одной из точек пересечения)?
  13. Является ли прямая у = 3 · х - 4 касательной к кривой у = х3 − 2?
  14. Составьте уравнение касательной, проведенной из точки М (- 1; 3) к гиперболе у = 1/х.
  15. Даны две параболы y = 8 – З· х − 2·х2 и у = 2 + 9·х − 2·х2. Найдите уравнение прямой, которая касается обеих парабол.
  16. Даны две прямые у = − х к у = 5·х − 6. Найдите значения параметров а и b, при которых обе данные прямые касаются параболы у = х2 + а·х + b.
  17. Окружность задана уравнением х2 + у2− 4·х = 0. Найдите уравнения касательных к ней в точках ее пересечения с осью Ох.
  18. Приведите пример (т. е. запишите формулу или аккуратно постройте график) всюду определенной функции, имеющей производную всюду, кроме точек х = 0, х = 1 и х = 2.
  19. Доказать, что функция
    не имеет производной в точке х = 0.
  20. Найти производную функции
    и показать, что ее производная разрывна в точке х = 0.
  21. Разложите функцию f (х) = ln (1 + х) по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.
  22. Разложите функцию f (x) = tg x по формуле Маклорена до члена с х3 включительно.
  23. С помощью формулы Маклорена найти пределы:
    аб
    вг
    д е
  24. Сформулируйте и докажите первое правило Лопиталя.
  25. Сформулируйте и докажите второе правило Лопиталя.
  26. С помощью правил Лопиталя найти пределы, указанные в таблице.