l_d7

ЛЕКЦИЯ 6

Определение монотонности функции.
Достаточные условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале.
Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале.
Точки экстремума.
Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума.
Исследование поведения функций в точке х₀ с помощью производных высшего порядка.
Примеры некоторых возможностей пакета MAPLE к исследованию функций.
Вопросы для самопроверки.

Определение монотонности функции

Функция f (x) называется возрастающей в точке х₀, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительного h имеет место условие f (x₀− h) < f (x₀) < f (x₀ + h). Функция f (x) называется убывающей в точке х₀, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительного h имеет место f (x₀ − h) > f (x₀) > f (x₀ + h). Функция является возрастающей (убывающей) на интервале (а, b ), если она является возрастающей (убывающей) в каждой его точке.

Достаточные условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х₀ ∈ (а, b), возрастала (убывала) в точке х₀ , достаточно, чтобы f ' (x₀) > 0 (f ' (x₀) < 0).
Доказательство. Так как по условию f (x) дифференцируема в точке х₀ ∈ (а ,b), то существует предел

. В достаточно малой окрестности точки х₀ имеем

, где sign A означает "знак выражения А". Для случая f ' (x₀) > 0 имеем sign f ' (x₀) = + 1, поэтому sign (f ( x₀ + h) − f ( x₀)) = sign (h). Откуда следует f (x₀ − h) < f (x₀) < f (x₀ + h), что означает возрастание функции в точке.

Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х₀ ∈(а, b), возрастала (убывала) в точке x₀, необходимо, чтобы её производная в точке х₀ была неотрицательной f ' (x₀) ≥ 0 (неположительной f ' (x₀) ≤ 0).
Доказательство. Пусть функция f (x) возрастает в точке х₀ ∈(а, b) и справедливы неравенства f (x₀ − h) < f (x₀) < f (x₀ + h) В этом случае для положительного приращения h имеем

. Выполняя предельный переход в неравенствах, получим

. Аналогично

. Так как функция имеет производную в точке, то

, что и требовалось доказать.
   Определение. Функция f (x) называется строго возрастающей (убывающей) на отрезке [а, b], если для любых значений аргументов из этого отрезка большему значению аргумента соответствует строго большее (меньшее) значение функции.
   Как следствие теоремы Лагранжа можно сформулировать теорему.
   Теорема. Если функция f (x) определена на отрезке [а, b], дифференцируема в точках х ∈(а, b) и f ' (x) > 0, ( f ' (x) < 0), то функция f (x) возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].
   Доказательство. Применим теорему о конечных приращениях для двух произвольных точек х₁ < х₂ ∈ [а, b] f (x₂) − f (x₁) = f ' (c)·( x₂ − x₁), где с ∈ ( x₁ ; x₂). Из этого соотношения следует sign ( f (x₂ ) − f ( x₁ ) ) = sign f ' ( c)    В случае f ' (x) > 0 для всех ∈(а, b) имеем f (x₂) > f (x₁) , и большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Что свидетельствует о возрастании функции.

Точки экстремума

   Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x), если для всех значений аргумента из некоторой достаточно малой δ - окрестности точки х₀ выполняется неравенство f (x) < f (x₀) ( f ( x) > f ( x₀ ) ) при х ≠ x₀.
   Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f ( x) < f ( x₀) ( f (x) > f ( x₀ )) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x₀.
   Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то другого локального минимума.
   В точках экстремума приращение функции имеет определённый знак. Если Δ f = f ( x₀ + h ) − f ( x₀) ≥ 0 для достаточно малых значений h, то точка х₀ является точкой локального минимума. Если Δ f = f ( x₀ + h ) − f (x₀) ≤ 0 для достаточно малых значений h, то точка х₀ является точкой локального максимума. Точки экстремума это точки графика функции, которые отделяют участки определённой монотонности друг от друга.
   Ниже приведены виды точек экстремумов. В первых двух функция определена и производная существует, такие точки называются стационарными.
    Функция в точках экстремума определена, однако производной в точке экстремума может не существовать.

Необходимое условие экстремума

Теорема. Если х₀ — точка экстремума функции f (x), то либо в этой точке производная обращается в нуль f ' (x₀) = 0 (в стационарных точках), либо в этих точках производная не существует (в угловых точках).
Доказательство. Рассмотрим разложение функции в окрестности точки х₀ в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Δ f (x) = f ' (x₀)·Δ x + o(Δ x). Так как остаточный член является бесконечно малой величиной относительно приращения аргумента, то sign Δ f (x) = sign f ' (x₀)·sign Δ x, и знак приращения функции зависит от знака приращения аргумента sign (Δ x). Что недопустимо для точек экстремума. Следовательно производная функции в точке х₀ или равна нулю, или не должна существовать.

Достаточное условие экстремума

   Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащую точку экстремума х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала кроме, быть может самой точки х₁. Если при переходе слева направо через эту точку х₁ производная меняет знак с плюса на минус, то при х = х₁ функция имеет локальный максимум. Если же при переходе слева направо через эту точку х₁ производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке локальный минимум.
   Комментарий. Если в достаточно малой окрестности точки х₁ справедливо f ' (x) > 0 при х < x₁, f ' (x) < 0 при х > x₁, то в точке х₁ функция имеет максимум; если f ' (x) < 0 при х < x₁, f ' (x) > 0 при х > x₁, то в точке х₁ функция имеет минимум.
   Доказательство. Пусть при переходе слева направо через эту точку х₁ производная меняет знак с плюса на минус, то есть для всех х, достаточно близких к х₁, имеем f ' (x) > 0 при х < x₁, f ' (x) < 0 при х > x₁. Применяя теорему Лагранжа к разности f (x) − f ( x₁), получим f ( x ) − f ( x₁ ) = f ' ( c )·( x − x₁ ). где с лежит между точками х и х₁. По условию теоремы sign f ' ( c ) = − sign ( x − x₁ ), поэтому в произвольно малой окрестности точки х₁ имеем f ( x ) < f ( x₁ ). В этом случае точка х₁ есть точка локального максимума, что и требовалось доказать.

Исследование поведения функций в точке х₀ с помощью производных высшего порядка

Теорема. Пусть функция f ( x ) определена в некоторой ε – окрестности точки х₀, причём f ' ( x₀ ) = f '' ( x₀) = … = f ^{( k - 1 )} = 0 и f ^(k) ( x₀ ) ≠ 0. Тогда точка х₀ является точкой локального максимума, если k – чётное и f ^(k) ( x₀ ) < 0, и точкой локального минимума, если k – чётное и f ^(k) ( x₀ ) > 0. Если k – нечётное, то критическая точка х₀ не является точкой экстремума; является точкой возрастания функции f ( x ) в случае f ^(k) ( x₀ ) > 0 и является точкой убывания функции f ( x ) в случае f ^(k) ( x₀ ) < 0.
Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора для функции f ( x ) в точке х₀:

. Поэтому

. Если k – чётное, то sign ( f ( x ) − f ( x₀) ) = sign ( f ^(k)( x₀) ), из чего следует вывод относительно экстремума функции в условиях этой теоремы. Если k – нечётное, то sign (f ( x ) − f ( x₀ )) = sign ( f ^(k)( x₀ ) )·sign ( x − x₀), и приращение функции зависит от знака приращения аргумента с поправкой на знак величины f ^(k) ( x₀ ), из чего следует вывод относительно точки монотонности функции в условиях этой теоремы.

Примеры некоторых возможностей пакета MAPLE к исследованию функций

> with(plots):f:=x->-x^3+2*x: — задание функции;
> plot(f(x),x=-2..2, color=black, thickness=3);- построение графика функции на заданном интервале;
> minimize(f(x),x=-2..0,location=true);— нахождение координат точки локального минимума на заданном интервале;
> maximize(f(x),x=0..2,location=true);— нахождение координат точки локального максимума на заданном интервале;

> restart:plotdiff:=proc(y,x,a,b) local yp:yp:=diff(y,x):plot([y,yp],x=a..b,color=[black,blue],thickness=[3,2],linestyle=[1,3]);end; - формирование процедуры построения функции (определена чёрным цветом) и производной этой функции (определена голубым цветом пунктирной линией ). Видно, что при возрастании функции её производная положительна. График производной пересекает ось абсцисс в стационарной точке функции.

> plotdiff(-x^3+2*x,x,-0.5,1.5);

> restart:with(plots):shape:=proc(f,a,b,n) local i,x1,x2,xmid,d,y1,y2,A,B,m,M,slope:d:=(b-a)/n;x2:=a;for i from 1 to n do x1:=evalf(x2);x2:=evalf(a+i*d);xmid:=x1+d/2;slope:=evalf(subs(x=xmid,diff(f(x),x)));if slope > 0 then A[i]:=plot(f(x),x=x1..x2,color=blue,thickness=4): else A[i]:=plot(f(x),x=x1..x2,color=red,thickness=2): fi:od: display(seq(A[i],i=1..n),labels=[x,y]):end:
> f:=x-> sin(x)+x/3:shape(f,-6,6,200); - построение процедуры, которая показывает участки возрастания функции (отмечены синим цветом) и участки убывания — (отмечены красным цветом). Участок возрастания переходит в участок убывания через точку экстремума и наоборот.

Построение цикла для исследования поведения функции в точке с помощью производных высшего порядка в пакете MAPLE

> restart:n:=6:f:=(x)->x^2-4*x-(x-2)*ln(x-1):x0:=2:for i from 1 to n do d[i]:=(D@@i)(f)(x0):if d[i]<>0 then i:=i+1:else d[i];fi;od;

Вопросы для самопроверки

Докажите теорему о достаточных условиях возрастания функции.
Дайте определение экстремума функции.
Может ли функция иметь несколько экстремумов?
Может ли локальный максимум некоторой функции оказаться меньше какого-то локального минимума этой же функции?
Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие экстремума. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
Какие точки называются точками возможного экстремума функции?
Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие экстремума.
Сформулируйте теорему об исследовании поведения функции в точке с помощью производных высшего порядка.