К разделу
ЛЕКЦИЯ 7 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Направление выпуклости вверх.
  2. Связь направления выпуклости функции со знаком второй производной.
  3. Определение точки перегиба.
  4. Необходимое условие точки перегиба.
  5. Достаточное условие точки перегиба.
  6. Визуализация направления выпуклости в пакете MAPLE.
  7. Вопросы для самопроверки.

Направление выпуклости вверх

   Пусть функция у = f (x) дифференцируема на интервале (а, b). Тогда существует касательная к графику функции у = f (x) в любой точке М (х; f (x)) на интервале а < х < b, причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку угловой коэффициент касательной, равный f ' (x), конечен.
   Определение. График функции y = f (x) имеет в данной точке х0 выпуклость, направленную вниз (вверх ), если в достаточно малой окрестности этой точки график функции расположен не ниже (не выше) касательной к графику функции, проведённой в этой точке. Аналитически это будет означать, что
f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )·( x − x0 )
для выпуклости в данной точке вниз и
f ( x ) ≤ f ( x0 ) + f ' ( x0 )·( x − x0 )
для выпуклости в данной точке вверх.
   Будем говорить, что график функции y = f (x) имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх) на интервале (а, b), если график функции выпуклый вниз (вверх) в любой точке этого интервала (а, b).

Связь направления выпуклости функции со знаком второй производной

   Теорема. Для того, чтобы дважды дифференцируемая в точке x0 функция была выпукла вверх (вниз) в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная этой функции в x0 была неположительной (неотрицательной).
    Доказательство. Пусть функция y = f ( x ) выпукла вниз в точке х0. Разложим функцию в ряд Тейлора в данной точке х0:
.
Следует отметить, что первые два слагаемых ряда Тейлора совпадают с правой частью уравнения касательной, проведённой в графику функции y = f (x) в точке х0:
Y = f ( x0 ) + f '( x0 )·( x − x0 ).
Учитывая, что слагаемое o(x - x0)2 в достаточно малой окрестности точки х0 мало, и на знак выражения влияния не оказывает, получим зависимость знака второй производной на направление выпуклости
sign ( f ( x ) − Y) = sign ( f ''( x0 ) ).
   Теорема. Для того чтобы дважды дифференцируемая на интервале (а, b) функция, была выпукла вверх (вниз) в нем, необходимо, чтобы во всех точках этого интервала вторая производная функции была ≤ 0 ( ≥ 0).
   Доказательство. Пусть функция в произвольной точке х0 Î (a, b) выпукла вниз. Тогда в достаточно малой окрестности точки х0 справедливо неравенство f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )·( x - x0 ).
 Запишем последнее неравенство в виде
f ( x ) − f ( x0 ) − f ' ( x0 )·( x − x0 ) ≥ 0.
Применяя формулу Лагранжа к первому и второму слагаемому, получим
[ f ' ( c1 ) − f ' ( x0 ) ]·( x − x0 ) ≥ 0.
Применяя ещё раз формулу Лагранжа в квадратной скобке, получим
f '' ( c2 )·( c1 − x0 )·( x − x0 ) ≥ 0,
откуда непосредственно следует f '' ( c2 ) ≥ 0 так как x0 < с2 < c1 < x. Поскольку аргумент х выбран произвольно в достаточно малой окрестности точки х0, то и аргумент для второй производной в этом случае тоже произволен в достаточно малой окрестности точки х0.

Определение точки перегиба

   Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.
   В окрестности такой точки x 0 график функции y = f (x) слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.
   Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции так, что с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой - над нею.
   В окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной сторон касательной на другую и "перегибается" через нее. Отсюда и произошло название "точка перегиба".

Необходимое условие точки перегиба

   Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x0, f(x0)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x0) = 0.
    Доказательство. Предположим обратное, пусть f "(x0) ≠ 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки x0, в которой f ″(x) < 0 (f "(x) > 0), и, значит график функции y = f (x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(x0; f (x0 )). Полученное противоречие доказывает теорему.
   Не всякая точка М (x0, f (x0)), для которой f " (x0) = 0, является точкой перегиба. Например, график функции y = f(x) = x4 не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f " (х) = 12·x ² = 0 при х = 0. Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба. Точки М (x0; f (x0)) графика, для которых f "(x0) = 0, будем называть критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует сформулировать достаточное условие перегиба.

Достаточное условие точки перегиба

   Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f "(x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x0 интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х0, а график функции имеет касательную в точке С = (х0, f (x0)). Если при переходе через точку х0 вторая производная f "(x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x).
   Доказательство. Из того, что f "(x0) слева и справа от точки x0 имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x0 является различным. Это и означает наличие перегиба в точке M(x0; f (x0)).

Визуализация направления выпуклости в пакете MAPLE

> restart:with(plots):with(plottools): shape:=proc(f,a,b,n) local i,x1,x2,xmid,d,y1,y2,A,B,m,M,g, concav: d:=(b-a)/n; x2:=a;M:=maximize(f(x),x=a..b):m:=minimize(f(x),x=a..b):for i from 1 to n do x1:=evalf(x2);y1:=evalf(f(x1)): x2:=evalf(a+i*d); y2:=evalf(f(x2)): xmid:=x1+d/2; concav:=evalf(subs(x=xmid,diff(f(x),x$2)));if concav > 0 then B[i]:=polygonplot([[x1,M],[x1,y1],[x2,y2],[x2,M]],color=blue, else B[i]:=polygonplot([[x1,m],[x1,y1],[x2,y2],[x2,m]],color=green,style=patchnogrid): fi:od: g:=plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=3): display(g,seq(B[i],i=1..n),labels=[x,y]):end:
 > f:=x->sin(x)+x/3:shape(f,-6,6,200);
Здесь зелёным цветом указаны участки с направлением выпуклости вверх, синим цветом — с направлением выпуклости вниз. Точки смены цветовой окраски являются точками перегиба.

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение направления выпуклости графика функции вверх и вниз.
  2. Сформулируйте теорему, с помощью которой решается вопрос о направлении выпуклости графика функции.
  3. Дайте определение точки перегиба графика функции.
  4. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба графика функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
  5. Какие точки называются критическими?
  6. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба графика функции.
  7. Может ли функция иметь экстремум в точке перегиба графика функции?