К разделу
ЛЕКЦИЯ 8 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Асимптоты функции.
  2. Вертикальные асимптоты.
  3. Горизонтальные асимптоты.
  4. Наклонные асимптоты.
  5. Общее исследование функции и построение графика.
  6. Кривизна плоской линии в заданной точке.
  7. Центр кривизны плоской линии в данной точке.
  8. Вопросы для самопроверки.

Асимптоты функции

   Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные асимптоты

   Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке.
   Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода
В этом случае f( x0 ± 0) = ± ∞, или f ( x0 ± 0) = + ∞ , или f (x0 ± 0) = − ∞.
   Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции
.

Рис. 8.2. Точка разрыва второго рода для данной функции определяется только справа

Горизонтальные асимптоты

   Если
,
то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот

Наклонные асимптоты

   Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями
,
.
   Для того, чтобы функция y = f (x ) имела асимптоту y = k ·x + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали указанные выше конечные пределы.
   Доказательство. По определению асимптоты имеем
.
Так как MP = MP1·cos α, где угол α есть величина постоянная, равная углу наклона асимптоты к оси Ох. Поэтому соотношение для определения асимптоты можно записать в виде
.
Так как точки М и Р1 соответствуют одному и тому же значению аргумента, то это соотношение можно записать в виде
.                        (9.1)
Если вынести за скобки х, то
,
из этого однозначно будет следовать
,
или
.
Откуда следует соотношение для нахождения углового коэффициента асимптоты
.
Зная угловой коэффициент асимптоты, из соотношения (9.1) получим
.

Общее исследование функции и построение графика

   С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление вогнутости графика, наличие асимптот.
   Обычно используют следующую схему исследования функций:
  1. Определение области определения.
  2. Определение четности или нечетности.
  3. Определение периодичности функции.
  4. Определение интервалов знака постоянства первой производной.
  5. Определение интервалов знака постоянства второй производной.
  6. Составление таблицы результатов.
    х        
    у '       
    у ''       
    у       
       В первой строчке таблицы указываются интервалы, на которые разбивается область определения функции точками разрыва, точками экстремума и точками перегиба в порядке следования. Сами эти точки в порядке следования помещаются в отдельные столбцы. Во второй строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки первой производной. В третьей строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки второй производной. В четвёртой строчке определяется характер поведения функции в каждой ячейке. Если это точки экстремума или точки перегиба, то указываются значения функции в этих точках.
  7. Нахождение асимптот.
  8. Построение графика функции, начинается с построения асимптот и характерных точек.

Кривизна плоской линии в данной точке

 Cредней кривизной дуги Δs плоской линии называется абсолютная величина отношения угла Δα между касательными в концах этой дуги к длине Δs дуги
.
 Предел этого отношения при стремлении Δs к нулю называется кривизной кривой в данной точке
.
Так как tg α = y ', то α = arctg y ', и
.
Так как , то окончательно получим
.
 Величина обратная кривизне, называется радиусом кривизны
.

Центр кривизны плоской линии в данной точке

 Если в направлении нормали к линии в данной точке отложить расстояние, равное радиусу кривизны R, то плолученная точка будет называться центром кривизны линии в данной точке. Из рисунка и метода построения центра кривизны плоской линии будем иметь соотношения для координат центра кривизны
Учитывая соотношения
,
получим для координат центра кривизны соотношения
Пример 1

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.
  2. Приведите примеры функций с асимптотами.
  3. Докажите следующее утверждение: если прямая y = k·x + b является наклонной асимптотой графика функции у = f (х) при х ® ∞, то
    , .
  4. Приведите схему общего исследования функции и построения её графика.