К разделу
ВЫБОР ВАРИАНТА К СОДЕРЖАНИЮ
MAPLE

Найти решение задачи Коши

. (1)

   Решение. Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Однородное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид

y'' + y = 0. (2)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2) имеет вид

k2 + 1 = 0, (3)

которое имеет решение k1,2 = ± i . Так как решения характеристического уравнения (3) комплексные, то общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

y0 = C1·cos x + C2·sin x. (4)

Для того, чтобы соотношение (4) было решением уравнения (1), будем считать, что величины С1 и С2 были некоторыми функциями аргумента:

y = C1(x)·cos x + C2(x)·sin x. (5)

Продифференцируем (5) по аргументу:

. (6)

Будем считать, что

, (7)

тогда соотношение (6) примет вид

y ' = - C1·sin x + C2·cos x. (8)

Продифференцируем (8) опять по аргументу:

. (9)

Соотношения (5) и (9) подставим в (1):

,

или

. (10)

Составим из соотношений (7) и (10) систему

решением которой будет

. (11)

Интегрируя (11), получим

C1 = ln | cos x | + A, C2 = x + B. (12)

Подставим (12) в соотношение (5) и получим общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1):

y = (ln | cos x | + A)·cos x + (x + B)·sin x,

или окончательно

y = A cos x + B sin x + cos x·ln | cos x | + x sin x. (13)

Найдём значения произвольных постоянных А и В, чтобы были выполнены условия у(0) = 1, у'(0) = 0. Продифференцируем (13) по аргументу

y' = - A sin x + B cos x + x cos x - ln | cos x |·sin x. (14)

Подставив начальные условия в (13) и (14), найдём

A = 1, B = 0. (15)

Подставив (15) в (13), получим окончательно частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию

y = cos x + cos x·ln | cos x | + x sin x.

Решение примера в пакете MAPLE

>restart:deqn:=(D@@2)(y)(x)+y(x)=1/cos(x);#запись дифференциального уравнения:

>unit:=y(0)=1,D(y)(0)=0;№задание начальных условий:

>with(DEtools):odeadvisor(deqn);#характеристика дифференциаль-ного уравнения:

>lodu:=(D@@2)(y)(x)+y(x)=0;#линейное однородное уравнение:

>> constcoeffsols(lodu,y(x));#Система базисных решений ЛОДУ:

>sol:=dsolve(deqn);#Общее решение ЛНДУ

>dsolve({deqn,unit});#Частное решение ЛНДУ

>phaseportrait(deqn,\y(x),x=-2..2,[[y(0)=1,D(y)(0)=0]], y=-4..5,stepsize=.05,linecolour=[red]);#График интегральной линии