| Выбор задания самостоятельной работы | К содержанию первого раздела |
СОДЕРЖАНИЕ
| Лекция 1 | Основные определения. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Пример. Дифференциальное уравнение непрерывного роста или убывания. Дифференциальное уравнение растворения твёрдых тел. Дифференциальное уравнение температуры охлаждающегося тела. Уравнение времени истечения жидкости через отверстие в дне резервуара. Уравнение времени, необходимого для установления одинаковых уровней жидкости в сообщающихся сосудах.
Вопросы для самопроверки. (Дифференциальные уравнения. Определения и понятия) (Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Трактриса) Скорость свободного падения тела в среде с сопротивлением пропорциональным квадрату скорости. Свободное падение тела в среде с сопротивлением пропорциональным квадрату скорости. Закон движения. |
| Лекция 2 | Теорема существования и единственности. Геометрическая интерпретация уравнения y ′ = f (x, y).
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Отражательная поверхность. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . Дифференциальное уравнение силы переменного тока в случае, когда в цепи есть самоиндукция и омическое сопротивление. Уравнение в полных дифференциалах . Решение дифференциального уравнения первого порядка в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки. (Однородные дифференциальные уравнения. Уравнение отражательной линии) (Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнение цепи переменного тока с R, L, ЭДС) (Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель) |
| Лекция 3 | Дифференциальные уравнения высших порядков . Общие положения. Теорема существования и единственности. Общее решение дифференциального уравнения n – го порядка. Уравнение вида y(n) = f (x) . Дифференциальное уравнение упругой линии. Случай понижения порядка дифференциального уравнения, когда уравнение не содержит неизвестную функцию явным образом. Уравнение цепной линии . Уравнение второго порядка, которое не содержит явно аргумента функции . Вопросы для самопроверки. (Общие сведения по дифференциальным уравнениям высшего порядка) (Понижение порядка дифференциального уравнения (1 случай). Уравнение упругой линии) (Понижение порядка дифференциального уравнения (2 случай). Уравнение цепной линии) (Понижение порядка дифференциального уравнения (3 случай)) |
| Лекция 4 | Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка . Линейно независимые функции. Теорема Бернулли. Теоремы о структуре решения линейного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения положительный. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения отрицательный. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если дискриминант характеристического уравнения равен нулю. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений в пакете MAPLE. Примеры. Вопросы для самопроверки. (Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами) (Линейные дифференциальные уравнения. Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений) (Колебательные движения плавающего тела. ) (Изменение заряда на обкладках конденсатора в цепи CRL без возбуждения. (Случай R > 2 X L)) (Изменение заряда на обкладках конденсатора в цепи CRL без возбуждения. (Случай R < 2 X L)) |
| Лекция 5 | Теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о суперпозиции частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения . Подбор решения ЛНДУ по его правой части. Метод вариации произвольных постоянных ). Примеры. (Принцип суперпозиции для линейных неоднородных дифференциальных уравнений) (Метод вариации произвольных постоянных) (Вынужденные колебания. Биения). |
| Лекция 6 | Основные понятия и определения. Система второго порядка с двумя различными действительными собственными значениями. Система второго порядка с комплексными собственными значениями. Система второго порядка с кратными собственными значениями. Система третьего порядка с тремя различными действительными собственными значениями. Система третьего порядка с тремя различными действительными собственными значениями. Система третьего порядка с кратными собственными значениями и полным набором собственных векторов. Решение системы дифференциальных уравнений в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки. (Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения.) |
| Вариационное исчисление | Вариация и её свойства. Уравнение Эйлера. Брахистохрона. |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
| Задание 1 | Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
(Ответ представить в виде ψ(х, у) = С). (Рекомендации к выполнению РГР по теме дифференциальные уравнения. Задание 1) |
| Задание 2 | Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Рекомендации к выполнению РГР по теме дифференциальные уравнения. Задание 2) |
| Задание 3 | Найти решение задачи Коши. (Рекомендации к выполнению РГР по теме дифференциальные уравнения. Задание 3) |
| Задание 4 | Найти решение задачи Коши. (Рекомендации к выполнению РГР по теме дифференциальные уравнения. Задание 4) |
| Задание 5 | Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Рекомендации к выполнению РГР по теме дифференциальные уравнения. Задание 5) |
| Задание 6 | Найти общее решение дифференциального уравнения. ( Рекомендации к выполнению РГР по теме дифференциальные уравнения. Задание 6) |
| Задание 7 | Найти общее решение дифференциального уравнения. |
| Задание 8 | Найти общее решение дифференциального уравнения. |
| Задание 9 | Найти общее решение дифференциального уравнения. |
| Задание 10 | Найти решение задачи Коши. |
| Задание 11 | Решить систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка. (Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения) |
| Задание 12 | Решить систему линейных дифференциальных уравнений третьего порядка. |
| Тест 1 |