ВВЕРХ
MAPLE
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение. Решим это уравнение относительно производной
и будем считать, что
y = u(x)·x.
В этом случае уравнение примет вид
Сократим числитель и знаменатель правой части последнего уравнения на х:
Перенесём второе слагаемое из левой части в правую часть
и приведём подобные
Представим в левой части уравнения производную как отношение дифференциалов:
Получим уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим уравнение в виде
Последнее уравнение является уравнением с разделёнными переменными и поэтому его можно проинтегрировать:
В левой и правой части уравнения стоят табличные интегралы и поэтому легко получаем
Потенцируя последнее соотношение, получим
Если учесть замену, то общий интеграл рассматриваемого уравнения запишется в виде
Оформление примера в пакете MAPLE
>restart:eqn:=x*D(y)(x)=sqrt(2*x^2+y(x)^2)+y(x);#Непосредственное решение
>dsolve(eqn,y(x));
>normal(%)*x^2;
Однако преобразования можно выполнять шаг за шагом
>restart:with(DEtools);eqn:=x*diff(y(x),x)=sqrt(2*x^2+y(x)^2)+y(x);
>eq1:=expand(subs([diff(y(x),x)=x*du/dx+u,y(x)=u*x],eqn)/x);
>eq2:=op(1,eq1)-op(2,eq1)=0;
>assume(x>0):pt2:=simplify(op(2,lhs(eq2)),radical);
>eq3:=op(1,lhs(eq2))=-pt2;
>eq4:=algsubs(diff(u(x),x)=du/dx,eq3);
>eq5:=eq4*dx;
>eq6:=eq5/(op(1,lhs(eq5))*op(2,rhs(eq5)));
>eq7:=convert(int(lhs(eq6)/du,u),ln)=ln(C*sqrt(2)/2)+int(rhs(eq6)/dx,x);
>eq8:=combine(eq7,ln);
>eq9:=exp(lhs(eq8))=exp(rhs(eq8));
>eq10:=expand(eq9*2);
>simplify(expand(subs(u=y/x,eq10)*x/sqrt(2)));
