ВВЕРХ
MAPLE
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
с начальными условиями y(1) = 1.
Решение. Уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем считать, что
y = u( x)·v(x), где u(x) и v(x) являются неизвестными функциями. С учётом этого уравнение примет вид
.
Сгруппируем второе и третье слагаемое в последнем уравнении и вынесем за скобки общие множители
. (1)
Так как одну из двух функций можно считать произвольной, то будем считать, что v(x) такова, что выражение в скобках равно нулю:
, (2)
тогда уравнение (1) примет вид
. (3)
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными, и поэтому имеем
,
и далее
Интегрируя последнее уравнение, получим
или
ln | v | = ln | x |,
или
v = x. (4)
Заметим, что при нахождении выражения функции v(х) нет необходимости прибавлять произвольную постоянную при интегрировании в виду произвольности функции v(х). Подставляя (4) в (3) получим уравнение с разделяющимися переменными
.
Поэтому
,
далее
,
далее
.
Интегрируя последнее уравнение, будем иметь
,
или
. (5)
В силу (4) и (5) получим общее решение уравнения
. (6)
Подставим в (6) начальные условия, то есть х = 1 и у = 1, и получим 1 = 1 + С, откуда найдём С = 0. С учётом этого из общего решения (6) найдём частное решение
.
Решение примера в пакете MAPLE
> restart:eqn:=D(y)(x)-y(x)/x=-2/x^2;bvp:=y(1)=1;
> dsolve(eqn, [linear],useInt);
> sol:=value(%);#Общее решение
> dsolve({eqn,bvp},y(x));#Частное решение
