lek_du1

ЛЕКЦИЯ 1

Основные определения.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Пример.
Дифференциальное уравнение непрерывного роста или убывания.
Дифференциальное уравнение растворения твёрдых тел.
Дифференциальное уравнение температуры охлаждающегося тела.
Уравнение времени истечения жидкости через отверстие в дне резервуара.
Уравнение времени, необходимого для установления одинаковых уровней жидкости в сообщающихся сосудах.
Вопросы для самопроверки.

Основные определения

Понятие о дифференциальном уравнении. Всякое физическое явление характеризуется одной или несколькими величинами, измерить которые непосредственно удается далеко не всегда. Часто приходится довольствоваться измерением не тех величин, которые нас интересуют, а других, связанных с первыми определенными соотношениями. Соотношения эти могут быть представлены в конечной или дифференциальной формах. Обычно бывает легче установить зависимость между дифференциалами зависимых друг от друга величин, чем между самими этими величинами. Объясняется это тем, что, оперируя с весьма малыми количествами, мы можем делать допущения, упрощающие задачу установления зависимости между этими количествами и не отражающиеся на результате благодаря предельному переходу. Получаемые после выполнения предельного перехода зависимости содержат производные рассматриваемых величин и носят название дифференциальных уравнений.
Равенство, не являющиеся тождеством, содержащие функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением F (x, y(x), y'(x), … y⁽ⁿ⁾(x)) = 0. Дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция зависит только от одного аргумента, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит от нескольких аргументов, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Общий вид такого уравнения:

   Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
   Порядок дифференциального уравнения является одной из характеристик этого уравнения.
   Степенью дифференциального уравнения называют высшую степень производной высшего порядка, входящей в данное уравнение. Например, дифференциальное уравнение вида (y'')³ = y +1 является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка и третей степени.
   Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Неизвестной величиной в дифференциальном уравнении является функция.
   Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y = y (x, C₁, C₂, …, C_n ), зависящая от n произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n и такая, что:

а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных C₁, C₂, …, C_n;
б) при заданных начальных условиях y(x₀) = y₀, y ' (x₀) = y'₀, … , y^(n-1)(x₀) = y^(n-1)₀ постоянные C₁, C₂, …, C_n можно подобрать так, что функция y = y (x, C₁, C₂, …, C_n ) будет удовлетворять этим условиям (предполагая, что начальные значения х₀, у₀, у'₀, ..., у^(n-1) принадлежат области, где выполняются условия существования решения).

   При конкретных значениях произвольных постоянных общее решение обращается в частное. График частного решения называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.
   Соотношение, связывающее решение уравнения, произвольные постоянные, количество которых равно порядку дифференциального уравнения, и аргумент называются общим интегралом дифференциального уравнения.
   При решении дифференциального уравнения зачастую нет возможности получить общее решение. В результате решения получается конечное соотношение F (x, y, C₁, C₂, …, C_n) = 0, в котором решение у(х) является неявной функцией остальных величин. Это конечное соотношение называется общим интегралом.
   В выражении общего решения дифференциального уравнения переменные х и у можно рассматривать как координаты точек плоских кривых, которые принято называть интегральными кривыми дифференциального уравнения. Входящие в выражение общего решения произвольные постоянные C₁, С₂, ..., С_n можно рассматривать как некоторые параметры. Тогда общее решение представит собой уравнение семейства интегральных кривых, а само дифференциальное уравнение будет дифференциальным уравнением всех его интегральных кривых.
   Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение n-го порядка - значит:

1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы) или
2) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).

   Число видов дифференциальных уравнений, которые могут быть проинтегрированы в конечном виде, весьма невелико. Сказанное относится не только к уравнениям высших порядков, но даже к целому ряду уравнений первого порядка. Поэтому ограничимся рассмотрением только отдельных типов дифференциальных уравнений.
   Заметим, что вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.
   Дифференциальное уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y', …, y^(n-1)) называется дифференциальным уравнением разрешенным относительно производной.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Если в уравнении y ' = f (x, y) правая часть раскладывается на множители, каждый из которых зависимый от одного аргумента, то уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющими переменными.
Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющими переменными:

Следует убедиться, что правая часть уравнения y ' = f (x, y) обладает указанным свойством.
Разложить правую часть уравнения на множители, каждое из которых зависит от одного переменного, производную представить как отношение дифференциала функции и дифференциала аргумента .
Далее, пользуясь правилами алгебры, разделить переменные .
Это уравнение с уже разделёнными переменными проинтегрировать .
Пользуясь методами интегрирования, получить общий интеграл F(y) = G(x) + C.

Пример

Решить уравнение

.
Решение. Применим алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющими переменными

Производную представим как отношение дифференциала функции и дифференциала аргумента .
Слагаемые разнесём по различным частям равенства .
Пользуясь правилами алгебры, в последнем уравнении разнесём переменные по различным частям равенства .
Проинтегрируем последнее уравнение .
В правой части последнего уравнения применим табличный интеграл, в левой части линейное свойство неопределённого интеграла .
Первый интеграл в левой части является табличным, во втором интеграле заменим аргумент интегрирования .
Окончательно общий интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид .

Дифференциальное уравнение непрерывного роста или убывания

Скорость прироста (или убывания) некоторого вещества пропорциональна наличному её количеству. В начальный момент t = 0 величина количества равна m₀. Найти зависимость величины количества от времени.
Решение. По условию задачи, учитывая механический смысл производной как скорость изменения функции, запишем дифференциальное уравнение

. Разделяя переменные в уравнении, получим дифференциальное уравнение с разделёнными переменными

. Интегрируя далее, получим

. Так как в силу начального условия при t = 0 имеем m = m₀, то С = m₀ и окончательно

. При положительном значении коэффициента размножения в этих условиях рост количества вещества происходит экспоненциально. Размножение вещества будет носить характер взрыва.

Дифференциальное уравнение растворения твёрдых тел

При постоянной температуре скорость растворения твёрдого тела в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, ещё могущего раствориться в жидкости до насыщения последней (предполагается, что химическая реакция вещества и раствора не происходит, кроме того, раствор далёк от насыщения). Пусть m — количество вещества, дающего насыщенный раствор, х — количество уже растворившегося вещества. Тогда по условию задачи имеем

, где k есть коэффициент пропорциональности, t — время. Разделяя переменные и затем интегрируя, получим x = m + C·e^-kt. По условию задачи в начальный момент времени t = 0 количество растворённого вещества равно нулю х = 0, и поэтому C = - m. Окончательно количество уже растворившегося вещества в растворе будет определяться соотношением x = m·(1 - e^{- kt})..

Дифференциальное уравнение температуры охлаждающегося тела

Пусть Т — температура тела, а Т₀ — температура окружающей среды и Т > Т₀. Бесконечно малое количество теплоты dQ, отданное телом в течение бесконечно малого промежутка времени dt, пропорционально разности температур тела и окружающей среды dQ = - k·(T - T₀)·dt. Здесь k — коэффициент пропорциональности, знак минус поставлен потому, что потеря тепла dQ — величина отрицательная. Но с другой стороны имеем Q = c·m·(T - T₀), где m — масса тела, с — его удельная теплоёмкость. Если считать, что удельная теплоёмкость не зависит от температуры, найдём dQ = c m dT. Следовательно, c m dT = - k·(T - T₀ )·dt. Разделяя переменные и интегрируя, получим

. Если в начальный момент времени при t = 0 температура Т = Т₁, то C = T₁ - T₀ и

. Ниже приведены графики изменения температур при охлаждении и при нагревании внешней средой (смотри рисунок.).
Из этих графиков видно, что для выравнивания температуры тела и среды необходимо определённое время.

Уравнение времени истечения жидкости через отверстие в дне резервуара

Резервуар имеет форму параллелепипеда с площадью основания S. Из него через малое круглое отверстие вытекает жидкость. В начальный момент высота жидкости была равна h. В течение времени dt через отверстие пройдёт объём воды, равный σ·ω·v·dt. Здесь σ — коэффициент, величина которого зависит от диаметра отверстия, ω — площадь отверстия, v — скорость истечения жидкости (смотри рисунок.).
Скорость v истечения из резервуара жидкости со свободной поверхностью равна

. Поэтому количество воды, вытекающей за промежуток времени dt, будет

. За тот же промежуток времени dt уровень воды в резервуаре понизится на — dz. Используя соображения сохранения вещества, получим

. Отделив переменные в полученном уравнении и проинтегрировав его, получим

. По условию задачи при t = 0 имеем z = h. Следовательно,

. Приняв это во внимание, получим окончательно

. Время полного истечения Т жидкости из резервуара найдём из условия, что в момент окончания истечения величина z = 0. Приняв это во внимание, получим

, где W — первоначальный объём жидкости в резервуаре.
Если, к примеру, S = 100 м², h = 2,5 м, ω = 0,5 м², σ = 0,62, то время истечения жидкости из резервуара равно Т = 230,41 сек. ≈ 3 мин 50 сек.
Замечание. В случае, когда горизонтальное сечение резервуара меняется, будем иметь S = f (z), и дифференциальное уравнение запишется так

. После интегрирования получим

Уравнение времени, необходимого для установления одинаковых уровней жидкости в сообщающихся сосудах

Предположим, что оба сосуда имеют форму параллелепипедов, у которых площади оснований S и S₁ (смотри рисунок.).
Количество жидкости, теряемое сосудом I, равно количеству жидкости, получаемое сосудом II. Поэтому - S·dz = S₁·dz₁. Отсюда

. В течение времени dt через отверстие площадью ω пройдёт объём жидкости

, и поэтому

или

. Полагая z - z₁ = u, получим

, откуда

. Вследствие этого

, а отсюда

. Проводя интегрирование, найдём

, где h — разность уровней. Если, к примеру, S = S₁ = 100 м², h = 2,5 м, ω = 0,5 м², σ = 0,62, то время выравнивания уровней в сосудах равно Т = 114,5 сек.

Вопросы для самопроверки

Что называется дифференциальным уравнением?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Что называется общим решением дифференциального уравнения?
Что называется частным решением дифференциального уравнения?
Что называется общим интегралом дифференциального уравнения?
Что называется интегральной линией?
Что называется порядком дифференциального уравнения?
Приведите в качестве примера ряд физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.