lek_du3

ВВЕРХ

ЛЕКЦИЯ 3

К СОДЕРЖАНИЮ

Общие положения.
Теорема существования и единственности.
Общее решение дифференциального уравнения n – го порядка.
Уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f (x) .
Дифференциальное уравнение упругой линии.
Случай понижения порядка дифференциального уравнения, когда уравнение не содержит неизвестную функцию явным образом.
Уравнение второго порядка, которое не содержит явно аргумента функции.
Уравнение цепной линии.
Задача о математическом маятнике.
Гиперболические функции.
Уравнение висящей гибкой нити равного сопротивления.
Вопросы для самопроверки.

Общие положения

Дифференциальное уравнение n – го порядка в общем случае имеет вид

f ( x, y, y ', y '',…, y⁽ⁿ⁾) = 0.

Если его можно разрешить относительно n-й производной,

y⁽ⁿ⁾ = f ( x, y, y ', y '',…, y^(n-1)).

Мы будем рассматривать только такие уравнения высших порядков, которые можно разрешить относительно высшей производной. Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка.

Теорема существования и единственности

Если в уравнении y⁽ⁿ⁾ = f ( x, y, y ', y '',…, y^(n-1)) функция f ( x, y, y ', y '',…, y^(n-1)) и её частные производные по переменным x, y, y ', y '',…, y^(n-1) непрерывны в некоторой области, содержащей значения

то существует и притом единственное решение у = у (х) уравнения, удовлетворяющее условиям

Эти условия называются начальными условиями.
Для уравнения второго порядка y'' = f (x, y, y') начальными условиями будут

, где

заданные числа.
Геометрический смысл этих условий следующий: через заданную точку плоскости (х₀, у₀) с заданным тангенсом угла наклона

проходит единственная кривая.
Из этого, далее, следует, что если задавать различные значения у'₀ при постоянных х₀ и у₀, то получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона, проходящих через заданную точку.

Общее решение дифференциального уравнения n – го порядка

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n – го порядка называется функция y = φ (x, c₁, c₂, … c_n ) зависящая от n произвольных постоянных c₁, c₂, … c_n и такая, что:

она удовлетворяет уравнению при любых постоянных c₁, c₂, … c_n;
при заданных начальных условиях постоянные c₁, c₂, … c_n можно подобрать так, что функция y = φ (x, c₁, c₂, … c_n ) будет удовлетворять этим условиям (предполагается, что начальные значения принадлежат области, где выполняются условия существования решения).

   Соотношение Φ (x, c₁, c₂, … c_n ) = 0 , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
   Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных c₁, c₂, … c_n, называется частным решением.
   График частного решения называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f (x)

Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f (x). Найдем общий интеграл этого уравнения.
Интегрируя по х правую и левую части и принимая во внимание, что

, получим

где x₀ - любое фиксированное значение х, c₁ - постоянная интегрирования. Интегрируя ещё раз, получим

Продолжая и так далее, получим после n интегрирований выражение общего интеграла

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y|_{x = x₀} = y₀, y'|_{x = x₀} = y'₀,… , y^(n-1)|_{x = x₀} = y^(n-1)₀ достаточно положить c_n = y₀, c_n-1 = y'₀, …, c₁ = y^(n-1)₀. Пример. Найти общий интеграл уравнения у " = sin (k x) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y|_x=0 = 0, y'|_x=0 = 1. Решение.

или

.    Это есть общий интеграл. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения С₁ и С₂.
   Из условия y|_x=0 = 0 находим С₂ = 0.
   Из условия y '|_x=0 = 1 находим C₁ = l.

Дифференциальное уравнение упругой линии

К числу уравнений рассмотренного вида относится известное в сопротивлении материалов приближенное уравнение упругой линии (эластической кривой).
Если брус изгибается внешними силами и мы обозначим через Е- модуль Юнга материала, из которого он сделан, через J - момент инерции поперечного сечения бруса относительно его нейтральной оси, через ρ - радиус кривизны изогнутой оси бруса (упругой линии) в точке, через которую проходит взятое сечение, и через М - изгибающий момент внешних сил, расположенных справа (или слева) от взятого сечения s, q — интенсивность равномерно распределённой нагрузки, то, как известно ,

Принимая во внимание, что радиус кривизны ρ выражается соотношением

буквой х обозначено расстояние сечения от начала координат и полагая M = f (x), получаем дифференциальное уравнение упругой линии

В тех случаях, когда прогиб бруса незначителен, тангенс угла наклона касательной к упругой нити с осью ОХ весьма мал, и его квадратом по сравнению с единицей можно пренебречь; можно записать приближённое, но пригодное для практических целей, уравнение

E J y'' = f ( x )

Решим следующую задачу. Брус длиной l, одним концом заделанный в стену, изгибается силой Р, приложенной к другому концу А (смотри рисунок.), и равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q кг\м. Найдем уравнение его изогнутой оси и прогиб.
Изгибающий момент в некотором сечении s равен

Вследствие этого дифференциальное уравнение упругой линии будет иметь вид

Знак минус выбран потому, что изгиб обращён выпуклостью вверх.
Двукратное интегрирование даёт

.
Произвольные постоянные с и с₁ определяются из условия для сплошной заделки: при x = l имеет место y = 0 и y ' = 0. Это даёт два уравнения

, из которых получим

. Уравнение изогнутой оси будет иметь вид

Если в нём положить х = 0, то получим прогиб в точке А

Случай понижения порядка дифференциального уравнения, когда уравнение не содержит неизвестную функцию явным образом

Уравнение вида

не содержит явным образом искомой функции у.
Введём обозначение производной наинизшего порядка, входящей в уравнение y^(k) = z, тогда y^(k+1) = z', y^(k+2) = z'', … , y⁽ⁿ⁾ = z^(n-k) и уравнение принимает вид

f ( x, z, z ', z '',…, z^(n-k)) = 0.

Найдя общее решение этого уравнения z = g (x, c₁, c₂, … c_n-k ), далее перейдём к уравнению

y^(k)= g (x, c₁, c₂, … c_n-k ).

Последовательным k раз интегрированием окончательно получим общее решение уравнения

y = G (x, c₁, c₂, … c_n ).

Пример. Решить уравнение ( 1 + x² ) y'' + 2 xy' = 12 x³.
Решение. Введём обозначение y' = z, тогда y'' = z' и уравнение принимает вид линейного уравнения

( 1 + x² ) z' + 2 x z = 12 x³.

Это уравнение можно переписать в виде

Применяя алгоритм решения линейного уравнения, получим

z = u v;
;
;
;
;
;
ln v = - ln ( 1 + x²);
;
;
u ' = 12 x³;
u = 3 x⁴ + c;
;
Учитывая выражение для переменной z, и разделив почленно, получим
;

Уравнение второго порядка, которое не содержит явно аргумента функции

Пусть уравнение имеет вид f (y, y', y'') = 0. Положим, что y ' = z. Так как в уравнении нет аргумента функции х, то естественно предположить, что z = z (y). Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

С учётом этого уравнение f (y, y ', y '') = 0 примет вид

Решая это уравнение первого порядка, находим его общее решение z = Φ₁(y, c₁) или, учитывая введённое обозначение для z, получим

Разделим переменные

интегрируя это уравнение, получим окончательно общий интеграл

Φ ( y, c₁ ) = x + c₂.

Пример. Найти общее решение уравнения y·y '' – 2·y ' ²=0.
Решение. Полагая y' = z(y) и учитывая, что

получаем

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду

и интегрируя, получим

ln | z | = 2 ln | y | + ln | c₁ |,

откуда

z = c₁·y²,

Учитывая, что

находим

откуда получаем искомое решение - 1/y = C₁·x +C₂ или y = -1/(C₁x +C₂).
При сокращении на z было потеряно решение уравнения z = y' = 0, т.е. y = C = const. В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при C₁= 0 (за исключением решения y = 0).

Уравнение цепной линии

Тяжёлая гибкая нить постоянного поперечного сечения прикреплена в точках А и В (смотри рисунок.).
Определить кривую провисания нити. Обозначим натяжение нити в нижней её точке С буквой Н, а в какой-либо точке М — буквой Т; вес единицы длины нити — через q. Ось ОY направим через точку С вертикально вверх; начало О выберем на расстоянии Н/q = а ниже точки С. При таком выборе осей координат уравнения равновесия части СМ нити будут иметь вид

- H + T·cos α = 0, T·sin α = q·s,

где α — угол между натяжением Т и осью абсцисс. Из этих уравнений имеем

Дифференцируя это равенство, получим

здесь принято во внимание, что

С учетом вышесказанного получим уравнение с разделёнными переменными

Интегрируя это уравнение, найдём

или окончательно

По условию задачи имеем y' = 0 при х = 0. Это значит, что С = 1, то есть

. Избавившись от иррациональности в последнем уравнении, найдём

. Проинтегрировав это соотношение, получим

. Так как при х = 0 по условию задачи имеем у = а, то С₁= 0 и частное решение примет вид

Это и есть уравнение линии провисания нити (уравнение цепной линии).
Замечание. В состав уравнения цепной линии входит коэффициент

. Этот коэффициент неизвестен так как неизвестна величина Н. Рассмотрим способ его определения, когда известны: длина нити s₁ + s₂ = 2·σ, длина пролёта l₁ + l₂=2·L, разность ординат h₁ − h₂= 2·h.
Из соотношения

имеем

. C учётом этого можно записать

и соотношение

(1) Из уравнения цепной линии имеем

(2) Возводя равенства (1) и (2) в квадрат и вычитая, находим

откуда

Это трансцендентное уравнение относительно а можно решить приближённо графически, найдя точку пересечений кривой y = sh x и прямой

. Абсцисса точки пересечения даст величину L/a. Например, при условии 2·σ = 120 м, 2·L = 80 м, 2·h = 10 м, получим

Решая это уравнение, находим

. Если принять q = 10 кг/м, то H = a·q = 242 кг.
Пример. Пусть точка движется по оси Оx под действием силы, зависящей только от положения точки. Дифференциальное уравнение движения будет

. Пусть при t = 0 будет x = х₀,

.
Умножив обе части уравнения на

и проинтегрировав в пределах от 0 до t, получим

, или

. Первое слагаемое последнего равенства представляет собой кинетическую энергию, второе-потенциальную энергию движущейся точки. Из полученного равенства следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной во все время движения.

Задача о математическом маятнике

   Пусть материальная точка массы m под действием силы тяжести движется по окружности L, лежащей в вертикальной плоскости. Найдем уравнение движения, точки, пренебрегая силами сопротивления (т. е. силой трения, силой сопротивления воздуха и т. п.).
   Поместим, начало координат в точке , ось Ох направим по касательной К окружности (смотри рисунок.).
   Наша задача заключается в установлении зависимости угла φ от времени t.
   Разложим силу тяжести mg на тангенциальную mg sin φ и нормальную mg cos φ составляющие. Добавим к системе активных сил mg и реакции связи N, силы инерции mω²l и mε l. Для составления уравнений движения воспользуемся принципом Даламбера: система активно действующих сил, сил реакций связей и сил инерции образует равновесную систему. Т. е. эта система удовлетворяет условиям равновесия статики

Первое уравнение служит для нахождения натяжения нити, а второе уравнение системы представляет уравнение движения маятника

. В это уравнение аргумент функции время t не входит, поэтому положим

. Уравнение движения в этом случае примет вид уравнения с разделёнными переменными

. Интегрируя, получим

. Пусть имеют место начальные условия

. С учётом этих начальных условий уравнения движения можно переписать в виде

или

. Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим

. Интегрируя это уравнение, получим

. Это равенство и дает зависимость φ от t. Интеграл, стоящий слева, не выражается через элементарные функции, не выражается через элементарные функции и функция φ от t.

Гиперболические функции

В приложениях показательные функции часто встречаются в комбинациях

Вследствие этого эти комбинации получили особые названия. Первую называют гиперболическим косинусом, обозначая его через ch x (cos hyp х), а вторую - гиперболическим синусом, обозначая его через sh x (sin hyp x). Таким образом имеем

Эти обозначения и названия введены по аналогии с известными формулами Эйлера для тригонометрических функций

Исходя из равенств, определяющих sh x и ch x, можно развить теорию гиперболических функций. Формулы ее весьма схожи с формулами обыкновенной тригонометрии. Нетрудно проверить, что ch (- х) = ch х, sh (- х) = - sh x, ch xi = cos x, sh xi = i sin x, ch² x - sh² x = 1. Рассматривают также гиперболические тангенс и котангенс, определяя их с помощью равенств

Графики функций (sh x), (ch x), (th x) и (cth x).
Теорема сложения для гиперболических функций име леет вид ch (x + y) = ch x·ch у + sh x·sh у,
sh (x + y) = sh х·ch у + sh y·ch x. Нетрудно видеть, что sh 2х = 2 sh х·ch x, ch 2x = ch²x + sh² x,

. В приложениях приходится рассматривать и обратные гиперболические функции. Если положим ch x = u и sh v = v, то x = Arch u = = arsh v. Здесь Ar происходит от латинского слова «area» Из этих двух функций первая двузначна, а вторая однозначна. Решая уравнения

относительно е^х, находим

, откуда

. Следовательно,

. Впервой из этих двух формул допустимы перед корнем оба знака. Во второй - только один, ибо при отрицательном знаке логарифм перестает быть вещественным.

Уравнение висящей гибкой нити равного сопротивления

Отыскивая уравнение цепной линии, мы предполагали, что поперечные размеры нити (провода) повсюду одни и те же. Допустим теперь, что площадь поперечного сечения нити в разных ее местах изменяется пропорционально натяжению. В этом случае, очевидно, напряжения в различных сечениях нити по величине будут одинаковы и ока называется нитью равного сопротивления.
Обозначим буквой ρ плотность, а через F - переменную площадь поперечного сечения нити. Тогда уравнения равновесия представятся в виде

, где H, T и α имеют те же значения, что и раньше. Теперь будем иметь

, причем y ' = tg α. И, далее, H y '' = ρ F d s. Одинаковое для всех сечений напряжение обозначим буквой R. Мы получим H = F₀ R и T = F R, где F₀ обозначает площадь того поперечного сечения, центр тяжести которого по сравнению с центрами тяжести прочих сечений занимает самое низкое положение. В этой точке поместим начало координат. Теперь мы сможем написать граничные условия: при x = 0 имеем у = 0 и tg α = y' = 0.
Далее получим

; следовательно

. Но так как

, то

, (3) где а = R/ρ. Таким образом задача опять приводится к уравнению вида f ( y '', y ' ) = 0. Переписав (3) в форме

, найдем

. Но в силу второго из граничных условий С = 0. Значит

. Отсюда

, ибо новая произвольная постоянная тоже равна нулю на основании первого граничного условия. Уравнение цепной линии равного сопротивления можно записать в виде

, (4) Оно найдено Кориолисом и опубликовано им в первом томе журнала Лиувилля ("Journal de mathematiques pures et appliquees").
Кривая, изображающая уравнение (4), состоит из бесчисленного множества равных ветвей, расположенных в интервалах

; эти ветви отделены друг от друга интервалами

, где n - целое число.
Одна из ветвей, заключенная в интервале

, представлена на рисунке. Прямые

служат для нее асимптотами.

Вопросы для самопроверки

Какой вид имеет дифференциальное уравнение, разрешённое относительно старшей производной?
Сформулируйте теорему существования и единственности для дифференциального уравнения, разрешённого относительно старшей производной.
Как интегрируют дифференциальное уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f (x)?
Сформулируйте задачу о цепной линии и решите её.
Как решается дифференциальное уравнение, когда оно не содержит неизвестную функцию явным образом?
Как решается дифференциальное уравнение, когда оно не содержит аргумента явным образом?
Сформулируйте задачу о висящей гибкой нити равного сопротивления и решите её.