lek_du5

ЛЕКЦИЯ 5

Теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Теорема о суперпозиции частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Подбор решения ЛНДУ по его правой части.
Метод вариации произвольных постоянных.
Примеры.
Уравнение вынужденных колебаний.
Резонанс.
Вопросы для самопроверки.

Теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения

Определение. Уравнение вида y ⁽ⁿ⁾ + a₁·y ^(n-1) + … + a_n·y = f (x)                     (1) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением.
   Теорема. Общее решение уравнения (1) представляется суммой какого – нибудь частного решения у * этого уравнения и общего решения z соответствующего однородного уравнения z ⁽ⁿ⁾ + a₁·z ^(n-1) + … + a_n·z = 0                     (2)    Доказательство. Покажем, что сумма y = z + y^*                     (3) есть решение уравнения (1). Для этого подставим (3) в уравнение (1) (z + y^*) ⁽ⁿ⁾ + a₁·(z + y^*) ^(n-1) + … + a_n·(z + y^*) = f (x) или (z ⁽ⁿ⁾ + a₁·z ^(n-1) + … + a_n·z) + (y^* ⁽ⁿ⁾ + a₁·y^* ^(n-1) + … + a_n·y^*) = f (x)                     (4) Первая скобка тождественно равна нулю, а вторая тождественно правой части последнего соотношения. Что и требовалось доказать
   Покажем, что (3) есть общее решение. То есть покажем, что произвольные постоянные в соотношении (3) можно выбрать таким образом, что будут удовлетворяться начальные условия y|_{x = x₀} = y₀, y '|_{x = x₀} = y '₀, …, y^(n-1)|_{x = x₀} = y^(n-1)₀                     (5) Соотношение (3) запишем в виде y = C₁ y₁ + C₂ y₂ + … + C_n y_n + y^* тогда на основании (5) будем иметь

Переписав эту систему в виде

(6) заключаем, что определитель этой линейной системы есть определитель Вронского для указанных функций в указанной точке. Так как функции y₁, … , y_n линейно независимы, то определитель Вронского для указанных функций отличен от нуля. Поэтому система уравнений (6) имеет единственное решение относительно произвольных постоянных C₁, … , C_n.
Показано, что (3) удовлетворяет уравнению (1) и начальным условиям. Что и требовалось доказать.

Теорема о суперпозиции частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения

Теорема. Если y₁ есть частное решение уравнения y ⁽ⁿ⁾ + a₁·y ^(n-1) + … + a_n·y = f₁ (x) и y₂ есть частное решение уравнения y ⁽ⁿ⁾ + a₁·y ^(n-1) + … + a_n·y = f₂ (x) то частное решение уравнения y ⁽ⁿ⁾ + a₁·y ^(n-1) + … + a_n·y = f₁ (x) + f₂ (x) находится как сумма y₁ + y₂.
Доказательство этой теоремы оставляем читателю.
Замечание. Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнения с постоянными коэффициентами такой метод существует.Для случая же уравнений с переменными коэффициентами в главе "Ряды" будут указаны некоторые приемы, которые дадут возможность находить приближенные решения, удовлетворяющие определенным начальным условиям.

Подбор решения ЛНДУ по его правой части

Правая часть	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
P_n(x)	0 не является корнем характеристического уравнения
P_n(x)	0 является корнем характеристического уравнения кратности s.
e^αx·P_n(x)	α не является корнем характеристического уравнения
e^αx·P_n(x)	α является корнем характеристического уравнения кратности s.
P_n(x)·cos βx + Q_m(x)·sin βx	i·β не является корнем характеристического уравнения
P_n(x)·cos βx + Q_m(x)·sin βx	i·β является корнем характеристического уравнения кратности s.
e^αx·(P_n(x)·cos βx + Q_m(x)·sin βx)	(α + i·β ) не является корнем характеристического уравнения
e^αx·(P_n(x)·cos βx + Q_m(x)·sin βx)	(α + i·β ) является корнем характеристического уравнения кратности s.

Метод вариации произвольных постоянных

   Способ интегрирования линейных дифференциальных уравнений со свободным членом, рассмотренный выше, замечателен тем, что, пользуясь им, мы находим общий интеграл без помощи квадратур. Но круг применения этого способа весьма ограничен. Если свободный член f (x) имеет вид, отличный от тех, которые нами были рассмотрены, то в большинстве случаев подобрать подходящую форму для частного решения у^* весьма трудно и от отыскания его по способу неопределенных коэффициентов приходится отказаться.
   Укажем здесь другой способ интегрирования линейных неоднородных дифференциальных уравнений, данный Лагранжем и известный под названием способа вариации произвольных постоянных. Практически он более утомителен, но зато, пользуясь им, мы всегда решаем вопрос об интегрировании уравнения, сводя его к квадратурам. Полученные интегралы могут выражаться в конечном виде или нет, но во всяком случае, с точки зрения задачи интегрирования дифференциального уравнения, мы, пользуясь методом Лагранжа, решение вопроса доводим до конца.
   Переходим к изложению способа вариации произвольных постоянных, ограничиваясь линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка.
   Заметим, что если предложено интегрировать уравнение y '' + a₁ y ' + a₂ y = f (x),                     (7) коэффициенты a₁, a₂ которого суть функции от аргумента х или постоянные числа, то, откидывая свободный член f (x) и меняя обозначение у на z, получим уравнение z '' + a₁ z ' + a₂ z = 0                     (8) без свободного члена, соответствующее уравнению (7). Его общее решение имеет вид z = C₁·z₁ + C₂·z₂.                     (9) Здесь z_l, z₂ - частные решения (8), а С₁, С₂ -произвольные постоянные. Идея способа вариации постоянных заключается в том, что общий интеграл уравнения (7) ищут в той же форме, которую имеет общий интеграл уравнения (8), т. е. полагают, что будем искать решение неоднородного уравнения (7) в форме (9), рассматривая C₁ и C₂ как некоторые пока неизвестные функции от х, т.е. y = C₁(x)·z₁ + C₂(x)·z₂                     (10)    Продифференцируем равенство (10) y ' = C₁'(x)·z₁ + C₁(x)·z'₁ + C₂'(x)·z₂ + C₂(x)·z'₂                     (11) Выберем функции C₁ и C₂ так, чтобы C₁'·z₁ + C₂'·z₂ = 0                     (12) Если это учесть, то выражение (11) для первой производной примет вид y ' = C₁(x)·z₁' + C₂(x)·z₂'                     (13) Дифференцируя соотношение (13) ещё раз, получим y '' = C₁·z₁'' + C₁'·z₁' + C₂·z₂'' + C'₂·z₂'                     (14) Подставляя полученные выражения для производных в уравнение (7), получим C₁·z₁ '' + C₁ '·z₁ ' + C₂·z₂ '' + C'₂·z₂ ' + a₁ (C₁·z₁ ' + C₂·z₂ ') + a₂ (C₁·z₁ + C₂·z₂) = f (x), или C₁·(z₁ '' + a₁·z₁ '+ a₂ ·z₁) + C₂·(z₂ '' + a₁·z₂ ' + a₂ ·z₂) + C₁ '·z₁ ' + C'₂·z₂ ' = f (x),                      (15)    Выражения в двух скобках обращаются в нуль, так как z₁ и z₂ являются решениями однородного уравнения (8). Следовательно, равенство (15) примет вид C₁ '·z₁ ' + C'₂·z₂ ' = f (x).                     (16)    Таким образом, чтобы (10) было решением уравнения (7) в предположении зависимости C₁ и C₂ от х, необходимо чтобы C₁ и C₂ удовлетворяли системе уравнений вида

Так как определитель этой системы есть определитель Вронского W ≠ 0, то эта система имеет единственное решение

Интегрируя последние равенства, получим

Подставляя последние равенства в (10), получим общее решение линейного дифференциального уравнения.

Примеры

Пример 1. Найти общее решение уравнения y '' - 4 y ' + 3 y = x e^x.
Решение. Характеристическое уравнение k ² - 4 k + 3 = 0 имеет корни k₁ = 1, k₂ = 3. Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид z = C₁ e^x + C₂ e^3x. В правой части этого уравнения – произведение многочлена первой степени на показательную функцию e^α·x при α = 1. Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k₁ = α = 1, то s = 1. В данном случае P_n(x) = х — многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде y^* = (A x + B) x e^x = (A x² + B x) e^x. Подставляя частное решение в уравнение, получаем - 4 A x + 2 A - 2 B = x. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, получим систему уравнений

из которой найдём A = - ¼, B = - ¼. Подставляя найденные значения А и В в выражение для y^*, получаем частное решение данного уравнения y^* = - ¼ (x² + x) e^x. Общее решение имеет вид y = z + y^* = C₁ e^x + C₂ e^3x - ¼ (x² + x) e^x. Пример 2. Найти общее решение уравнения y '' - 2 y ' + y = x + 1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид z = (C₁ + C₂ x) e^x. Так как правая часть уравнения – многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения k² – 2·k + 1 = 0 не равен нулю k₁ = k₂ = 1, то частное решение ищем в виде y^* = A x + B, где А и В — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды y^* и подставляя y^*, y^* ', y^* '' в данное уравнение, найдем

- 2·A + A·x + B = 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства, получим A = 1, A + B = 1, откуда находим: А = 1, В = 3. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид y^* = x + 3, а его общим решением будет y = (C₁ + C₂ x) e^x + x + 3. Пример 3. Найти общее решение уравнения y '' + y = sin x.
   Решение. Характеристическое уравнение k² + 1 = 0 имеет комплексные корни k₁ = i, k₂ = - i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид z = C₁ cos x + C₂ sin x. В правой части дифференциального уравнения – тригонометрическая функция sin x. Так как i — корень характеристического уравнения, то s = 1 и частное решение надо искать в виде y^* = (A cos x + B sin x) x    Дифференцируя это частное решение и подставляя в уравнение, получаем 2 ( - A sin x + B cos x ) = sin x, откуда A = - ½, B = 0. Таким образом, частное решение имеет вид y^* = - ½ x cos x, общим решением уравнения будет y = z + y^* = C₁ cos x + C₂ sin x - ½ x cos x. Пример 4. Найти общее решение уравнения y '' - y = 3 e^3x cos x.
   Решение. Здесь характеристическое уравнение k² - 1 = 0 имеет корни k₁ = 1, k₂ = - 1. Общее решение однородного уравнения имеет вид z = C₂ e^x + C₂ e^-x.
   В правой части уравнения – произведение многочлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, так что P_n(x) = 3, P_m(x) = 0, s = 0. Число α + i·β = 2 + i не является корнем характеристического уравнения, и частное решение ищем в виде y^* = e^2x (A cos x + B sin x). Дифференцируя и подставляя это частное решение в уравнение, получаем (2 A + 4 B) cos x + (2 B - 4 A) sin x = 3 cos x. Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получим систему

Решая эту систему, находим A = 3/10, B = 3/5. Таким образом, общее решение имеет вид

Пример 5. Найти общее решение уравнения y '' - y = x.
Решение. Методом подбора по правой части общее решение этого уравнения получается в виде y = - x + C₁ e^x + C₂ e^-x. Решим это уравнение теперь методом вариации произвольных постоянных. Соответствующее однородное уравнение z'' - z = 0 имеет общее решение z = C₁·e^x + C₂·e^-x. Поэтому решение неоднородного уравнения в соответствии с положением метода вариации произвольных постоянных будем искать в виде y(x) = C₁(x)·e^x + C₂(x)·e^-x. Значения C'₁(x) и C'₂(x) найдём из системы

Складывая эти уравнения, найдем С'₁(x) = ½ x e^-x. Отсюда, интегрируя, получаем C₁(x) = - ½ (x + 1) e^-x + A Подставляя выражение C'₁(x) в первое из уравнений системы, найдем C'₂ = - ½ x e^x, откуда, интегрируя, получаем C₂(x) = - ½ (x - 1) e^x + B. Подставляя найденные выраженияC₁(x) и С₂(х) в равенство y(x) = C₁(x)·e^x + C₂(x)·e^-x, получаем общее решение данного неоднородного уравнения:

Выполняя алгебраические преобразования, получим общее решение данного неоднородного уравнения: y = - x + A e^x + B e^-x. где А и В – произвольные постоянные. Как видно, решения, полученные двумя различными методами, совпадают.

Уравнение вынужденных колебаний

Предположим, что кроме силы притяжения к неподвижному центру - mk²x, пропорциональной расстоянию от него, и сопротивления среды

, пропорционального скорости, к точке приложена еще периодическая сила, определяемая формулой Р = Em cos pt, где Е, р, h и k - некоторые постоянные величины, m - масса материальной точки и х - расстояние от точки до притягивающего центра. Сила Р изменяется в пределах от + Еm до - Еm и период ее полного изменения равен 2π/p.
Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае будет

. (17) Это линейное уравнение второго порядка с последним членом. Корни характеристического уравнения r² + 2 h r + k² = 0 будут

. Предполагая, что h < k, мы получим общий интеграл в виде x = е^-ht (C₁ cos ω t + C₂ sin ω t) + x^*, где ω² = k² - h², a x^* - есть частное решение уравнения (17). Это частное решение будем искать в форме х^* = A cos p t + B sin p t. Неопределенные коэффициенты А и В определятся, если значения

и х^* подставим в уравнение (17) вместо

и х.
Сравнивая коэффициенты при cos p t в правой и левой частях полученного тождества и приравняв нулю коэффициент при sin p t, мы для определения А и В получим два уравнения: A (k² - р²) + 2h B p = E и B (k² - p²) - 2h A p = 0, из которых

; искомый общий интеграл будет x = е^-ht (C₁ cos ω t + C₂ sin ω t) + A cos p t + B sin p t. Произвольные постоянные С₁ и С₂ определятся, если примем во внимание начальные условия: в момент t = 0 абсцисса х = а и скорость

. На основании этих условий получим

.    По мере увеличения времени t множитель е^-ht стремится к нулю. При достаточно больших t можно практически принять, что движение совершается по закону х = A cos pt + В sin pt и имеет своим периодом 2 π/p.
   Это колебательное движение, производимое периодической силой E m cos pt, называют вынужденным, противополагая ему то, которое совершалось бы при отсутствии периодической силы и которое называют свободным или собственным колебанием. Таким образом мы видим, что периодическая сила стремится сообщить движущейся точке колебания, период которых равен периоду изменения этой силы.
   Иллюстрируем сказанное помощью простого примера. Представим себе груз М подвешенный к точке А посредством пружины (смотри рисунок.).
Расстояние центра тяжести С этого груза от точки привеса в момент, когда груз находится в покое, пусть будет L. Выведем груз из положения равновесия и затем предоставим самому себе. Он будет колебаться. В каждый момент t расстояние х его центра тяжести С от положения, которое этот центр занимал в момент равновесия, удовлетворяет уравнению

, (18) где m - масса тела М, 2 h m - коэффициент сопротивления среды, k²m х - сила упругости пружины, массой которой пренебрегаем.
Теперь представим себе, что точка привеса А в свою очередь начинает совершать колебания по закону

, где Е и p - постоянные. В таком случае в момент t на тело M будет действовать не сила k²m x, а k²m(x - x₁), и уравнение (18), после сокращения на m, переходит в такое:

или

. Вынужденные колебания центра тяжести С будут совершаться по закону: x = A cos p t + B sin p t. Полагая А = R sin γ; B = R cos γ, будем иметь x = R sin (γ + p t), причем

. (19) Если | k - p | >> 0 и частота р периодической силы увеличивается, то амплитуда R вынужденных колебаний будет уменьшаться и может быть сделана весьма малой, как это видно из выражения (19). Этим свойством вынужденных колебаний пользуются в тех случаях, когда в колеблющейся системе желательно получить "неподвижную" точку. В этом встречается надобность при устройстве приборов для записывания вибрации судов, сейсмографов, индикаторов и т. п.
Если, например, принять h = 0,l k и p = 10 k, то согласно (19)

, т. е. амплитуда колебаний точки С будет в 99 раз меньше амплитуды колебаний точки А. Если к телу М прикрепить карандаш К, то он будет почти неподвижен. При колебании в вертикальном направлении цилиндра В, приводимого во вращение часовым механизмом и жестко связанного с точкой подвеса А, карандаш будет чертить на ленте, надетой на цилиндр, кривую, отмечающую колебания всего прибора.

Резонанс

Особенно важным является тот частный случай, когда силой сопротивления можно пренебречь (h - мало) и в то же время p ≈ k, т. е. период "возмущающей" силы равен периоду "собственных" колебаний точки.
В этом случае величина R выражается так:

. На рисунке изображена зависимость отношения амплитуды R вынужденных колебаний к амплитуде Е/k² возмущающей силы от отношения р/k для различных величин (2 h)/k. Из чертежа видно, что по мере приближения отношения р/k к 1 величина R увеличивается до некоторого максимума, зависящего от 2h/k; при 2h/k → 0 этот максимум неограниченно возрастает. Это явление носит название резонанса.
Для случая резонанса дифференциальное уравнение колебаний (при отсутствии сопротивления среды) запишется так:

, его общий интеграл x = C₁ cos pt + C₂ sin pt + x^*, где х^* - частное решение уравнения. Отыскивая последнее в форме x^* = (A cos pt + B sin pt) t, мы, как и раньше, для определения коэффициентов А и В получим два уравнения, из которых найдем А = 0 и

.
Произвольные постоянные C₁ и С₂ определятся из начальных условий: x = a и

при t = 0; они будут С₁ = а и

.
Поэтому

. С возрастанием t член

может достигнуть значительной величины.
Это значит, что когда сила Р такова, что ее период близок к периоду "собственных" колебаний точки, то она может сообщить точке колебания со значительной амплитудой даже в том случае, когда эта сила мала. В этом и заключается явление резонанса. Оно хорошо известно в акустике в виде вызываемых колебаниями камертонов колебаний частей музыкальных инструментов. Сюда же надо причислить и такие явления, как вибрации судов от работы машины; колебания цепных мостов при прохождении идущего в ногу отряда; колебания фундаментов, вызываемые периодическими силами, возникающими от колебания машинных частей; раскачивание тяжелых качелей человеком и т. п. В тех случаях, когда резонанс не желателен, его можно устранить, увеличивая разность между частотой р периодической силы Р частотой k собственных колебаний тела.

Вопросы для самопроверки

В чём состоит смысл метода вариации произвольных постоянных?
Сформулируйте и докажите теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Сформулируйте и докажите теорему о суперпозиции частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Расскажите об основных принципах поиска частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом подбора.
Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть многочлен, то на что надо обратить внимание, когда получили решение характеристического уравнения?
Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть экспонента, то на что надо обратить внимание, когда получили решение характеристического уравнения?
Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть экспонента, умноженная на многочлен, то на что надо обратить внимание, когда получили решение характеристического уравнения?