К разделу
ЛЕКЦИЯ 6 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Основные понятия и определения.
  2. Система второго порядка с двумя различными действительными собственными значениями.
  3. Система второго порядка с комплексными собственными значениями.
  4. Система второго порядка с кратными собственными значениями.
  5. Система третьего порядка с тремя различными действительными собственными значениями.
  6. Система третьего порядка с кратными собственными значениями и неполным набором собственных векторов.
  7. Система третьего порядка с кратными собственными значениями и полным набором собственных векторов.
  8. Решение системы дифференциальных уравнений в пакете MAPLE.
  9. Вопросы для самопроверки.

Основные понятия и определения

   Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид
(6.1)
где x1, x2, … , xn  искомые функции аргумента t, aij - постоянные числа. Если ввести вектор-столбец неизвестных функций
(6.2)
матрицу коэффициентов aij системы (6.1)
(6.3)
определить производную векторной функции
(6.4)
тогда система дифференциальных уравнений (6.1) представится в матричном виде так:
(6.5)
Матрицу А рассматривают как преобразование, которое заданному вектору ставит в соответствие некоторый другой вектор.
   Собственным вектором матрицы А называется такой ненулевой вектор , который преобразуется данной матрицей А в коллинеарный ему вектор, то есть
A·S = λ·S (6.6)
Коэффициент λ в (6.6) называется собственным значением матрицы А.
   Собственные значения матрицы А являются корнями характеристического уравнения
(6.7)
Если разложить определитель в выражении (6.7), то получим многочлен вида

Pn(λ) = (- 1)n ·λn + A1·λn-1 + … + An

при этом Аn равно определителю матрицы А. Решения уравнения
(- 1)n ·λn + A1·λn-1 + … + An = 0 (6.8)
будут собственными числами λ1, λ2 , … , λn матрицы А. Обозначим собственный вектор, соответствующий собственному значению λi:

В этом случае соотношение (6.6) имеет вид

A·S (i) = λi·S (i).

Расписав последнее векторное соотношение в координатной форме, получим вырожденную систему линейных алгебраических уравнений для нахождения компонент собственного вектора :
(6.9)
Определитель системы (6.9), согласно (6.7), равен нулю, и система (6.9) имеет нетривиальные решения. Решив систему методом Гаусса, найдём с точностью до постоянного множителя компоненты собственного вектора . Если матрица А системы дифференциальных уравнений (6.1) имеет полный набор собственных векторов, то есть число собственных векторов совпадает с порядком системы, то решение системы (6.1) представляется в векторной форме
(6.10)
где C1, C2, …, Cn есть произвольные постоянные.
   В случае неполного набора собственных векторов для матрицы А системы (1.1) форма записи решения зависит от того, сколько собственных векторов в наборе. Эти случаи рассмотрены на примерах ниже.

Система второго порядка с двумя различными действительными собственными значениями

   Решить систему дифференциальных уравнений вида
(6.11)
   Решение. Запишем систему (6.11) в матричном виде (6.5). Для этого, в соответствии с (6.2) и (6.3), введём вектор-столбец неизвестных функций х, у и матрицу А:
,
Составим уравнение (6.7) для нахождения собственных значений матрицы А:

Решив это квадратное уравнение, получим λ1 = 5, λ2 = 1.
   Найдём собственный вектор S (1), соответствующий собственному значению λ1 = 5. Система (6.9) для нахождения координат собственного вектора S (1) имеет вид
(6.12)
Первое и второе уравнения системы (6.12) с точностью до знака совпадают, поэтому одно из этих двух уравнений отбросим как лишнее. Подставив в оставшееся уравнение S2 = 3·S1 значение S1 = 1, получим S2 = 3. Таким образом, собственным вектором S (1), соответствующим собственному значению λ1 = 5, будет

   Найдём собственный вектор S (2), соответствующий собственному значению λ2 = 1. Система (6.9) для нахождения координат собственного вектора S (2) имеет вид
(6.13)
Первое и второе уравнения системы (6.13) до множителя совпадают, поэтому одно из этих двух уравнений отбросим как лишнее. Подставив в оставшееся уравнение S2 = - S1 значение S1 = 1, получим S2 = - 1. Таким образом, собственным вектором S (2), соответствующим собственному значению λ2 = 1, будет

Матрица А системы (6.11) дифференциальных уравнений второго порядка имеет два собственных вектора S (1) и S (2), поэтому решение системы (6.11) представляется в виде (6.10)

x = C1·S (1)·e5t + C·2S (2)·et.

Если учесть координатную запись векторов S (1) и S (2), получим решение системы (6.11) в координатном виде

Ответ: x = C1·e5t + C2·et, y =3 C1·e5t - C2·et.

Система второго порядка с комплексными собственными значениями

   Решить систему
(6.14)
   Решение. Запишем систему (6.14) в матричном виде (6.5). Для этого, в соответствии с (6.2) и (6.3), введём вектор-столбец  неизвестных функций x1, x2 и матрицу А:
,
Составим уравнение (6.7) для нахождения собственных значений матрицы А:
(6.15)
Решив квадратное уравнение (6.15), получим два собственных значения λ1 = - 6 + i и λ2 = - 6 - i матрицы А.
   Найдём собственный вектор S (1), соответствующий собственному значению λ1 = - 6 + i. Система (6.9) для нахождения координат собственного вектора S (1) имеет вид
(6.16)
Из системы (6.16) видно, что одно уравнение является следствием другого: если первое уравнение в (6.16) умножить на 1 - i, то получим второе уравнение этой системы. Таким образом, второе уравнение системы можно отбросить и считать, что

S2 = ( 1 + i )·S1

Предположив, что S1 = 1, получим S2 = 1 + i. Тогда собственным вектором S (1), соответствующим собственному значению λ1 = - 6 + i, будет
(6.17)
Найдём собственный вектор S (2), соответствующий собственному значению λ2 = - 6 -i. Система (6.9) для нахождения координат собственного вектора S (2) имеет вид
(6.18)
Уравнения системы (6.18), как и в вышерассмотренном случае, зависимы: если первое уравнение в (6.18) умножить на 1 + i, получим второе уравнение. Отбрасывая второе уравнение системы (6.18), будем считать, что
S2 = (1 - i)·S1.
Предположив, что S1 = 1, получим S2 = 1 - i. Собственным вектором S (2), соответствующим собственному значению λ2 = - 6 - i, будет
 (6.19)
Матрица А системы (6.14) дифференциальных уравнений второго порядка имеет два собственных вектора S (1) и S (2). Решение системы (6.14) записывается в векторной форме
(6.20)
Векторное соотношение (6.20) можно представить в координатной форме:

Если ввести новые произвольные постоянные A1 = C1 + C2 и A2 = i·(C1 - C2), то получим решение в координатной форме.
Ответ: x1 = e- 6t·( A1 cos t + A2 sin t ), x2 = e- 6t·( ( A1 + A2 ) cos t + ( A1 - A2 ) sin t ).
    Если найден собственный вектор S (1) для комплексного собственного значения α + i·β, то для сопряжённого собственного значения α - i·β компоненты собственного вектора S (2) будут сопряжёнными относительно собственного вектора S (1). В частности, это видно из соотношений (6.17) и (6.19).

Система второго порядка с кратными собственными значениями

   Решить систему дифференциальных уравнений
(6.21)
   Решение. Запишем систему (6.21) в матричном виде (6.5). Для этого, в соответствии с (6.2) и (6.3), введём вектор-столбец  неизвестных функций x1, x2 и матрицу А:
,
Составим уравнение (6.7) для нахождения собственных значений матрицы А:
(6.22)
Решив квадратное уравнение (6.22), получим два совпадающих собственных значения λ1 = λ2 = 2 матрицы А. Координаты собственного вектора  удовлетворяют системе линейных однородных уравнения (6.9), которая для данного случая имеет вид
(6.23)
Уравнения системы (6.23) совпадают, поэтому одно из этих уравнений можно отбросить и считать, что S2 = S1.
   Предположив, что S1 = 1, получим S2 = 1. Тогда собственным вектором , соответствующим собственному значению λ1 = λ2 = 2, будет

В данном случае матрица А не имеет полного набора собственных векторов: число собственных векторов меньше порядка системы дифференциальных уравнений (6.21).
   Составим алгебраические дополнения элементов первой строки определителя в соотношении (6.22):

b11(λ) = 1 - λ; b12 (λ) = - 1.

При λ = 2 значения этих алгебраических дополнений с точностью до знака совпадают с компонентами найденного собственного вектора:

b11(2) = - S1 = - 1, b12(2) = - S2 = - 1.

Если из компонент b11(λ), b12 (λ) составит вектор

то
   Найдём вектор

Вектор  не является собственным вектором для матрицы А:

.

Решение системы (6.21) записывается в векторном виде
(6.24)
Проверим, что соотношение (6.24) действительно представляет собой решение системы (6.21). С одной стороны

С другой стороны

Что и требовалось доказать. Зная координаты векторов, несложно записать решение (6.24) в координатной форме.

Ответ: x = ( C1 + C2 ( 1 + t )) e2t, y = ( C1 + C2 t ) e2t.

Система третьего порядка с тремя различными действительными собственными значениями

   Найти общее решение системы
(6.25)
   Запишем систему (6.25) в матричном виде (6.5). Для этого, согласно (6.2) и (6.3), введём вектор столбец  неизвестных функций x, y, z и матрицу А:

Характеристическое уравнение матрицы А

разложим по первой строке
(6.26)
Раскрывая определители второго порядка в выражении (6.26), получим

Первым собственным значением матрицы А системы (6.26) будет λ1 = 1. Два других собственных значения находятся решением квадратного уравнения λ2 - λ - 2 = 0: λ2 = 2, λ3 = - 1.
   Найдём собственный вектор матрицы А системы (6.25), соответствующий собственному значению λ1 = 1. Координаты этого вектора удовлетворяют системе линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей
(6.27)
Для преобразования матрицы (6.27) по методу Гаусса вычтем вторую строку из третьей, умноженной на 2. В результате этого вычитания получим матрицу
(6.28)
Теперь из третьей строки матрицы (6.28) вычтем первую. В результате этого получим матрицу
(6.29)
Применение метода Гаусса к решению системы линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей (6.27) приводит, согласно (6.29), к системе уравнений вида
(6.30)
Полагая в (6.30) S3 = 1, получим S1 = S2 = 1. Таким образом, собственным вектором матрицы А системы (6.25), соответствующий собственному значению λ1 = 1, будет
(6.31)
Координаты собственного вектора S (2), соответствующего собственному значению λ2 = 2, удовлетворяют системе линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей
(6.32)
Для преобразования этой системы по методу Гаусса прибавим первую строку матрицы (6.32) ко второй и удвоенную первую строку к третьей. В результате того получим матрицу
(6.33)
Разделив вторую строчку матрицы (6.33) на –2 и третью строчку на –3, получим матрицу
(6.34)
Вычитая из третьей строчки вторую матрицы (6.34), получим матрицу
(6.35)
Прибавив к первой строчке в (6.35) вторую, получим
(6.36)
Применение метода Гаусса к решению системы линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей (6.32) приводит, согласно (6.36), к системе уравнений вида
(6.37)
Если в системе (6.37) считать S3 = 1, то получим S1 = - 1. Таким образом, собственному значению λ2 = 2 соответствует собственный вектор
(6.38)
Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению λ3 = - 1, удовлетворяют системе линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей
(6.39)
Для преобразования этой системы по методу Гаусса вычтем первую строчку из третьей в (6.39)
(6.40)
Если к первой строчке матрицы (6.40) прибавить вторую, получим матрицу
(6.41)
Применение метода Гаусса к решению системы линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей (6.39) приводит, согласно (6.41), к системе уравнений вида
(6.42)
Если в системе (6.42) положить S1 = 1, получим S2 = - 3 и S3 = - 5. Таким образом, собственному значению λ3 = - 1 соответствует собственный вектор
(6.43)
Матрица А дифференциального уравнения (6.25) третьего порядка имеет три собственных вектора (6.31), (6.38), (6.43). Поэтому решение системы (6.25) представляется в векторном виде

или в координатном виде.
Ответ: x = C1·e t - C2·e- 2t + С3·e - t, y= C1·e t - 3 С3·e - t, z= C1·e t+ C2·e- 2t - 5 С3·e - t.

Система третьего порядка с кратными собственными значениями и неполным набором собственных векторов

   Найти общее решение системы
(6.44)
Запишем систему (6.44) в матричном виде (6.5). Для этого, согласно (6.2) и (6.3), введём вектор столбец  неизвестных функций x, y, z и матрицу А:

Характеристический определитель матрицы А
(6.45)
преобразуется к виду
λ3 - 3·λ + 2 = 0. (6.46)
Один из корней уравнения (6.46) найдём методом подбора: если коэффициент при старшей степени неизвестного равен 1, остальные коэффициенты целые, то корень уравнения нацело делит свободный член уравнения. Свободный член уравнения (6.46) равен 2 и нацело делят его числа ± 1, ± 2. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число λ = 1 является корнем уравнения (6.45). Разделим характеристический многочлен λ3 - 3·λ + 2  на двучлен λ - 1. В данном случае деление легко провести, пользуясь методом Горнера. Деление многочлена

на двучлен х - с можно осуществить по схеме b0, b1, … , bn-1
+ a0 a1 a2 … an с
  b0·c b1·c … bn-1·c  
  b0 = a0 b1 b2 … bn = R  
При этом  есть коэффициенты многочлена частного, а bn = R есть остаток от деления.
Составим схему Горнера деления многочлена λ3 - 3·λ + 2 на двучлен λ - 1:
+ 1 0 -3 2 1
  1 1 -2  
  1 1 -2 0  
В третьей строчке указаны коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления. Оставшиеся два собственных значения матрицы А найдём решением квадратного уравнения
λ2 + λ - 2 = 0.
Таким образом, находим собственные значения λ1 = - 2, λ2 = λ3 = 1 матрицы А.
Найдём собственный вектор S (1) матрицы А для собственного значения λ1 = - 2. Координаты вектора S (1) удовлетворяют системе линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей
(6.47)
Разделим первую строчку матрицы (6.47) на 2
(6.48)
Из второй строчки матрицы (6.48) вычтем первую
(6.49)
Из первой строчки матрицы (6.49) вычтем вторую, умноженную на 2, и из третьей строчки вычтем вторую, умноженную на 4,
(6.50)
Из третьей строчки матрицы (6.50) вычтем первую, умноженную на 5
(6.51)
Таким образом, применение метода Гаусса при решении однородных линейных алгебраических уравнений с матрицей (6.47), согласно (6.51) приводит к системе уравнений вида
(6.52)
Если в системе (6.52) положить S3 = 1, то получим S1 = 1 и собственный вектор
(6.53)
соответствующий собственному значению λ1 = - 2. Кратному собственному значению λ2 = λ3 = 1 матрицы А соответствует система линейных однородных алгебраических уравнений с матрицей
(6.54)
Из третьей строчки матрицы (6.54) вычтем первую
(6.55)
Из первой строчки матрицы (6.55) вычтем вторую, умноженную на 5
(6.56)
Таким образом, применение метода Гаусса при решении однородных линейных алгебраических уравнений с матрицей (6.54), согласно (6.56), приводит к системе уравнений вида
(6.57)
   Если в системе (6.57) положить S3 = 4, то получим S1 = 4, S2 = 3. Собственным вектором, соответствующим собственному значению λ2 = λ3 = 1 будет
(6.58)
Особенностью рассматриваемого примера является отсутствие полного набора собственных векторов для матрицы А дифференциального уравнения (6.44). Число собственных векторов (6.53) и (6.58) не совпадает с порядком дифференциального уравнения.
   Покажем другой способ нахождения собственных векторов для найденных собственных значений. Этот способ позволяет избежать применения метода Гаусса для решения системы линейных уравнений.
   Составим алгебраические дополнения элементов первой строки характеристического определителя системы:
(6.59)
При λ = 1 значения выписанных алгебраических дополнений с точностью до знака совпадают с компонентами найденного собственного вектора S (2) в соотношении (6.59):

b11(1) = - 4; b12 (1) = - 3; b13(1) = - 4.

Таким образом, имеем

Составим алгебраические дополнения элементов второй строки характеристического определителя системы (6.45):
(6.60)
При λ = - 2 значения выписанных алгебраических дополнений (6.60) с точностью до множителя - 12 совпадают с компонентами найденного собственного вектора S (1) в соотношении (6.53):

b21(- 2) = - 12; b22 (-2) = 0; b23(- 2) = - 12.

Учитывая, что собственные векторы ищутся с точностью до постоянного множителя, имеем

Составим алгебраические дополнения элементов третьей строки характеристического определителя системы (6.45):
(6.61)
При λ = 1 значения выписанных алгебраических дополнений (6.60) совпадают с компонентами найденного собственного вектора S (2):
b31(1) = 4; b32 (1) = 3; b33(1) = 4.
Таким образом, имеем
Найдём вектор
(6.62)
Этот вектор, как легко проверить, не является собственным для матрицы А:
(6.63)
Более того, имеет,
(6.64)
Решение системы линейных дифференциальных уравнений записывается в векторном виде
(6.65)
Проверим, что выражение (6.65) действительно представляет решение системы (6.44). Итак, с одной стороны

С другой стороны

Учитывая (6.63), (6.64), получим тождество . То есть, выписанная функция (6.65) тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению  и является его решением. Решение (6.65) можно записать в координатной форме с учётом (6.53), (6.58), (6.62)

Система третьего порядка с кратными собственными значениями и полным набором собственных векторов

   Найти общее решение системы
(6.66)
Запишем систему (6.65) в матричном виде (6.5). Для этого, согласно (6.2) и (6.3) введём вектор столбец неизвестных функций x, y, z и матрицу А:

Составим характеристическое уравнение матрицы А:

Собственными значениями матрицы А будут λ1 = λ2 = 3, λ3 = 2.
Найдём собственные векторы матрицы А системы (6.66). Координаты собственного вектора, соответствующего кратному собственному значению λ = 3, удовлетворяют системе однородных линейных алгебраических уравнений с матрицей
(6.67)
Для преобразования этой матрицы по методу Гаусса вычтем первую строчку из второй и третьей матрицы (6.67):
(6.68)
Согласно (6.68) координаты собственного вектора, соответствующего собственному значению λ = 3, удовлетворяют уравнению
S1 - S2 - S3 = 0. (6.69)
Если в уравнении (6.69) положить S3 = 0, S2 = 1, то получим S1 = 1. Если же в (6.69) положить S3 = 1, S2 = 0, то получим S1 = 1. Таким образом, собственному значению λ = 3 соответствует два собственных вектора
и (6.70)
Координаты собственного вектора, соответствующего кратному собственному значению λ= 2, удовлетворяют системе однородных линейных алгебраических уравнений с матрицей
(6.71)
Для преобразования этой матрицы по методу Гаусса вычтем из первой строчки матрицы (6.71) вторую
(6.72)
Далее, из третьей строчки матрицы (6.72) вычтем первую
(6.73)
Согласно (6.73) применение метода Гаусса при решении системы однородных линейных алгебраических уравнений с матрицей (6.71) приводит к системе уравнений
(6.74)
Если в (6.74) положить S1 = 1, то получим S2 = S3 = 1. Таким образом, найдём собственный вектор
(6.75)
соответствующий собственному значению λ = 2.
   Собственные векторы (6.70), (6.75) линейно независимы и образуют базис в пространстве переменных x, y, z. В этом легко убедиться, составив смешанное произведение этих векторов

Решение системы (6.66) представляется в векторном виде
(6.76)
Проверим, что (6.76) действительно является решением системы (6.69). С одной стороны, дифференцируя (6.75) по времени, получим

С другой стороны, используя линейность умножения матрицы на вектор, имеем

Видно, что соотношение (6.76) тождественно удовлетворяет уравнению , то есть является решением системы (6.66). В координатной форме решение (6.76) представится в виде

Решение системы дифференциальных уравнений в пакете MAPLE

Задание системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
>with(DEtools): eq1:=D(x)(t)=x(t)-y(t)+z(t); eq2:=D(y)(t)=x(t)+y(t)-z(t);eq3:=D(z)(t)=2*x(t)-y(t);
Результат действия:

eq1 := D(x)(t) = x(t) - y(t) + z(t)
eq2 := D(y)(t) = x(t) + y(t) - z(t)
eq3 := D(z)(t) = 2 x(t) - y(t)

Аналитическое решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
> sys:= eq1, eq2,eq3: fcns:= {x(t),y(t), z(t)}:dsolve({sys}, fcns);
Результат действия:

{x(t) = 1/2 C1 exp(t) + 1/3 C1 exp(2 t) + 1/6 C1 exp(-t)- C2 exp(2 t) + exp(t) C2 + 2/3 C3 exp(2 t) - 1/2 C3 exp(t)- 1/6C3 exp(-t),
z(t) = 1/2C1 exp(t) - 5/6 C1 exp(-t) + 1/3 C1 exp(2 t) - C2 exp(2 t) + C2 exp(t) + 5/6 C3 exp(-t) + 2/3 C3 exp(2 t) - 1/2 C3 exp(t),
y(t) = 1/2 C1 exp(t) - 1/2 C1 exp(-t) + exp(t) C2 - 1/2 C3 exp(t) + 1/2 C3 exp(-t)}

Построение траектории движения:
>with(DEtools): DEplot3d({D(x)(t)=x(t)-y(t)+z(t),D(y)(t)=x(t)+y(t)+z(t),D(z)(t)=2*x(t)-y(t)}, {x(t),y(t),z(t)},t=0..2,[[x(0)=1,y(0)=0, z(0)=2]], scene=[x(t),z(t),y(t)], stepsize=.1,orientation=[109,-106],linecolour=sin(t*Pi/2));
Результат действия:
Построение проекции траектории движения на координатные плоскости:
>with(DEtools):phaseportrait({sys}, \ [x(t),y(t),z(t)], t=0..10,[[x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.2]],stepsize=.05, \ scene=[y(t),z(t)],linecolour=sin(t*Pi/2),method=classical[foreuler]);
Результат действия:

Вопросы для самопроверки

  1. Какой вид в матричной форме имеет система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами?
  2. Что называется собственным значением матрицы?
  3. Как составить характеристический многочлен матрицы?
  4. Как записывается матричное решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, когда матрица системы имеет полный набор собственных векторов?
  5. Как найти матричное решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, когда матрица системы не имеет полного набора собственных векторов?