К разделу
Вариационное исчисление К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Вариация и ее свойства
  2. Уравнение Эйлера

МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Вариация и ее свойства

 Методы решения вариационных задач, т. е. задач на исследование функционалов на максимум и минимум, похожи на метод исследования на максимум и минимум функций. Поэтому целесообразно напомнить кратко теорию максимума и минимума функций и параллельно ввести аналогичные ремы для функционалов.
1. Переменная величина z называется функцией переменной величины х, что обозначается так: z = f (x), если каждому значению х из некоторой области изменения х соответствует единственное значение z.
 Аналогично определяются и функции нескольких переменных.		 1. Переменная величина v называется функционалом, зависящим от функции y(х), что обозначается так: v = v [y (x)], если каждой функции y(х) из некоторого класса функций соответствует значение v, т. е. имеет место соответствие: функции y (x) соответствует число v.
 Аналогично определяются и функционалы, зависящие от нескольких функций, и функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных
2. Приращением Δ х аргумента х функции f (x) называется разность между двумя значениями этой переменной Δ х = х - х1. Если х — независимое переменное, то дифференциал х совпадает с приращением d x = Δ х. 2. Приращением или вариацией δ y аргумента y(х) функционала v[y(х)] называется разность между двумя функциями δ y = y(х) - y1(х). При этом предполатается, что y(х) меняется произвольно в некотором классе функций.
3. Функция f (x) называется непрерывной, если малому изменению х соответствует малое изменение функции f (x). 3. Функционал v [y (x)] называется непрерывным, если малому изменению y(х) соответствует малое изменение функционала v [y (x)].
 Возникает вопрос, какие изменения функции y (x) арумента функционала, называются малыми или, что то же самое, какие кривые у = y (x) и у = y1 (x) близкие.
 Кривые y (x) и y1 (x) близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности y (x) - y1 (x) мал.
 Кривые y (x) и y1 (x) близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей y (x) - y1 (x) и y' (x) - y'1 (x) малы.
 Кривые y (x) и y1 (x) близки в смысле близости k -го порядка, если модули разностей
y (x) - y1 (x),
y' (x) - y1' (x),
…
y(k) (x) - y1(k) (x)
малы.

рис. 1
Кривые, близкие в смысле близости первого порядка
рис. 2
Кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не первого
Из этих определений следует, что если кривые близки в смысле близости k - го порядка, то они близки в смысле близости любого меньшего порядка.
3'. Функция f (x) непрерывна при х = х0, если для любого положительного ε можно подобрать δ > 0 такое, что | f (x) - f (x0)| < ε при | x - x0| < δ. 3'. Функционал v[y (x)] непрерывен при у = у0 (х) в смысле близости k -го порядка, если для любого положительного ε можно подобрать δ > 0 такое, что | v[y (x)] - v[y0 (x)]| < ε при
|y (x) - y0 (x)| < δ,
|y' (x) - y0' (x)| < δ,
…
|y(k) (x) - y0(k) (x)| < δ
При этом подразумевается, что функция y (x) берется из класса функций, на котором функционал v[y (x)] определен.
4. Линейной функцией называется функция l (х), удовлетворяющая следующим условиям:
l (сх) = сl (х),
где с - произвольная постоянная, и
l (x1 + x2) = l (x1) + l (x2).
Линейная функция одной переменной имеет вид
l(х) = k x,
где k — постоянная.		4. Линейным функционалом называется функционал L[у (х)], удовлетворяющий следующим условиям:
L [c y(x)] = c L [y(x)],
где с — произвольная постоянная и
L [y1(x) + y2(x)] = L [y1(x)] + L [y2(x)].
Примером линейного функционала является
5. Если приращение функции
Δ f = f (х + Δ x) - f (х)
может быть представлено в виде
Δ f = А (х) Δ x + β (x, Δ x)· Δ x,
где A(х) не зависит от Δ x , а β (x, Δ x) – > 0 при Δ x – > 0, то функция называется дифференцируемой, а линейная по отношению к Δ x часть приращения А (х) Δ x называется дифференциалом функции и обозначается d f. Разделив на Δ x и переходя к пределу при Δ x – > 0, получим, что А (х) = f ' (x), и, следовательно, d f = f ' (x) · Δ x.		 5. Если приращение функционала
Δ v = v[y (x) + δ y] - v [y (x)]
можно представить в виде
Δ v = L [у (х), δy ] + β(y(x), δy ) mах |δy |,
где L [у (х), δy ] — линейный по отношению к δy функционал, mах |δy | - максимальное значение |δy | и β(y(x), δy ) – > 0 при mах |δy | – > 0, то линейная по отношению к δy часть приращения функционала, т. е. L [у (х), δy ] , называется вариацией функционала и обозначается δ v.
 Вариация функционала — это главная, линейная но отношению к δy, часть приращения функционала.
 При исследовании функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций.
 Можно дать и другое определение дифференциала функции и вариации функционала. Рассмотрим значение функции f (х + α Δ x) при фиксированном х и Δ x и изменяющихся значениях параметра α. При α = 1 получим приращенное значение функции f (х + Δ x), при α = 0 получим исходное значение функции f (х). Производная от f (х + α Δ x) по α при α = 0 равна дифференциалу функции f (х) в точке х.
 Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции
.
 Для функционалов вида v [y (x)] можно определить вариацию как производную от функционала v [y (x) + α δy] по α при α = 0. Действительно, если функционал имеет вариацию в смысле главной линейной части приращения, то его приращение имеет вид
Δ v = v[y (x) + δ y] - v [y (x)] = L [у (х), α δy ] + β[y(x), α δy ] |α | mах |δy |.
Производная от v[y (x) + α δ y] по α при α = 0 равна
,
так как в силу линейности
L [у (х), α δy ] = αL [у (х), δy ] ,
и
,
поскольку β [y(x), α δy ] —> 0 при α —> 0.
 Второе определение вариации несколько шире первого, так как существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя выделить главной линейной части, но вариация в смысле второго определения существует.
6. Дифференциал функции f (х) равен
.
6. Вариация функционала v [y (x)] равена
.
 Определение. Функционал v [y (x)] достигает на кривой у = у0 (х) максимума, если значения функционала v [y (x)] на любой близкой к у = у0 (х) кривой не больше, чем v [y0 (x)], то есть v[y (x)] - v[y0 (x)] < 0.
  Если Δ v ≤ 0, причем Δ v = 0 только при y (x) = у0 (х), то говорят, что на кривой у = у0 (х) достигается строгий максимум. Аналогично определяется кривая у = у0 (х), на которой реализуется минимум. В этом случае Δ v ≥ 0 для всех кривых, близких к кривой у = у0 (х).
7. Теорема. Если дифференцируемая функция f (х) достигает максимума или минимума во внутренней точке х = х0 области определения функции, то в этой точке
d f = 0.
 7. Теорема. Если функционал v [y (x)], имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при у = у0 (х), где у0 (х)– внутренняя точка области определения функционала, то при у = у0 (х),
δ v = 0.
 Если функционал v [y (x)] достигает на кривой у = у0 (х) максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых модуль разности y(х) - y0(х) мал, т. е. по отношению к кривым, близким к у = у0 (х) в смысле близости нулевого порядка, то максимум или минимум называется сильным.
 Если же функционал v [y (x)] достигает на кривой у = у0 (х) максимума или минимума лишь по отношению к кривым у = у (х) , близким к у = у0 (х) в смысле близости первого порядка, т. е. по отношению к кривым, близким к у = у0 (х) не только по ординатам, но и по направлениям касательных, то максимум или минимум называется слабым.

Уравнение Эйлера

 Исследуем на экстремум функционал
.
причем граничные точки допустимых кривых закреплены: у(x0) = у0 и у(x1) = у1. Функцию F (х, у, у ') будем считать трижды дифференцируемой. Необходимым условием экстремума является обращение в нуль вариации функционала. Предположим, что экстремум достигается на дважды дифференцируемой кривой у = у (х).
 Возьмем какую-нибудь близкую к у = у (х) допустимую кривую у = у0 (х) и включим кривые у = у (х) и у = у0 (х) в однопараметрическое семейство кривых y (х, α) = у (х) + α ( у0 (х) - у (х) ); при α = 0 получим кривую у = у (х), при α = 1 имеем у = у0 (х). Как мы уже знаем» разность у0 (х) - у (х) называется вариацией функции у (х) и обозначается δ y.
 Вариация δ y в вариационных задачах играет роль, аналогичную роли приращения независимого переменного Δ x; в задачах на исследование экстремумов функций f (x). Вариация функции δ y = у0 (х) - у (х) является функцией х. Эту функцию можно дифференцировать один или несколько раз, причем (δ y) ' = у '0 (х) - у ' (х) =δ y ', т. е. производная вариации равна вариации производной, и аналогично
(δ y)" = у ''0 (х) - у '' (х) =δ y '',
…
(δ y)(k) = у (k)0 (х) - у (k)(х) =δ y (k).
 Рассмотрим семейство у = у (х, α), где у (х, α) = у (х) + α δ y, содержащее при α = 0 кривую, на которой достигается экстремум, а при α = 1 – некоторую близкую допустимую кривую – так называемую кривую сравнения.
 Если рассматривать значения функционала
.
только на кривых семейства у = у (х, α), то функционал превращается в функцию α:
v[y (x, α)] = φ (α),
так как значение параметра α определяет кривую семейства у = у (х, α) и тем самым определяет и значение функционала v[y (x, α)]. Эта функция φ (α) достигает своего экстремума при α = 0, так как при α = 0 получаем у = у (х), и функционал, по предположению, достигает экстремума по сравнению с любой близкой допустимой кривой и, в частности, по отношению к близким кривым семейства у = у (х, α). Необходимым условием экстремума функции φ (α) при α = 0, является обращение в нуль ее производной при α = 0:
φ (α)'(0) = 0.
 Так как
,
то
,
 Так как
,
,
получим
,
.
 Так как φ '(0) называется вариацией функционала и обозначается δ v, то необходимое условие экстремума функционала v заключается в обращении в нуль его вариации: δ v = 0. Для функционала
это условие имеет вид
.
 Интегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что δ y ' = (δ y ) ', получим
.
Но
δ y|x0 = у0 (х0) - у (х0) = 0 и δ y|x1 = у0 (х1) - у (х1) = 0,
потому что все допустимые кривые в рассматриваемой простейшей задаче проходят через фиксированные граничные точки, и следовательно,
.
 Необходимое условие экстремума приобретает вид
.
 Первый множитель на кривой у = y (x), реализующей экстремум, является заданной непрерывной функцией, а второй множитель δ y, ввиду произвола в выборе кривой сравнения у = у0 (х), является произвольной функцией, удовлетворяющей лишь некоторым весьма общим условиям, а именно: функция δ y в граничных точках х = х0 и х = х1обращается в нуль, непрерывна и дифференцируема один или несколько раз, δ y или δ y и δ y ' малы по абсолютной величине.
 Исходя из вышесказанного, получим уравнение Эйлера
.