К разделу
ЛЕКЦИЯ 1 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Пространство Rn.
  2. Функции нескольких переменных.
  3. Предел функции нескольких переменных.
  4. Непрерывность функции многих переменных.
  5. Свойства непрерывных функций.
  6. Функции многих переменных в MAPLE.
  7. Вопросы для самопроверки.

Пространство Rn

   Определение. Множество упорядоченных наборов действительных чисел M (x1, x2, … , xn), для которых определено расстояние
,
называется пространством Rn. Элементы M (x1, x2, … , xn) называются точками пространства R n.
   Определение. ε – окрестностью точки M0( x10, x20, … , xn0) Rn называется множество точек M (x1, x2, … , xn) Rn таких, что расстояние их до точки М0 меньше ε:
.
(смотри рисунок.)
   Определение. Точка М0 = (a1, a2, … , an) называется точкой сгущения множества V Rn, если в любой как угодно малой окрестности О ε(М0) найдётся хотя бы одна точка М V и М ≠ М0, такая, что М Оε(М0).
   Определение. Пусть M0 ( x10, x20, … , xn0) Rn, δ i > 0, i = 1, 2, … , n. Множество

называется n – мерным параллелепипедом, а точка М0 — его центром. Если δ1 = δ2 = … = δn = δ, то P (x, δ, δ, δ, …, δ) называется n – мерным кубом с центром в точке М0 и обозначается Р (М0, δ).
   Определение. Всякий n – мерный параллелепипед P (M0, δ1, δ2, … , δn) называется прямоугольной окрестностью точки М0.
   Лемма. Какова бы ни была ε – окрестность О(М0, ε) точки М0 Rn существует её прямоугольная окрестность P(M0, δ1, δ2, … , δn),такая, что P(M0, δ1, δ2, … , δn) О(М0, ε), и наоборот, какова бы ни была прямоугольная окрестность P(M0, δ1, δ2, … , δn) точки М0 Rn, существует её ε – окрестность О (М0, ε), такая, что О (М0, ε) P (M0, δ1, δ2, …, δn).
   Доказательство леммы опирается на неравенства
.
Если М О (М0, ε), то d (M, M0) < ε, и в силу неравенства

следуют неравенства | xi - xi0 | < ε для всех i = 1, 2, … , n. Это означает, что М P (M0, ε).
   Обратно, пусть М P (M0, δ1, δ2, …, δn). Тогда в силу неравенства

имеем

а это означает, что М О (М0, ε). Что и требовалось доказать.

Функции нескольких переменных

Определение. Способ, который каждой точке х Rn ставит в соответствие единственную точку у Rm, называется функцией многих переменных.
   Она может быть обозначена как f: Rn → Rm или у = f (x), где х = ( x1, x2, … , xn) Rn, у = (у1, у2, … , yn) Rm.
   Функцию многих переменных, записанную в виде у = f (x), можно записать в координатной форме в виде системы

Функция f: R n → R1 называется скалярной функцией векторного аргумента.
   Определение. Множество U Rn, на котором функция у = f ( x) имеет смысл, называется областью определения функции.
   Наподобие того, как функция у = f (x) геометрически иллюстрируется своим графиком, можно геометрически истолковать и скалярную функцию двух переменных. Возьмём в пространстве прямоугольную систему координат х, у, z. Восстановим перпендикуляр к плоскости Оху в точке ( х, у ) и отложим на нём значение z = f (x, y) в соответствии с выбранным направлением оси Oz. Геометрическое место точек концов построенных таким образом отрезков представляет собой некоторую поверхность, и z = f ( x, y) — уравнение этой поверхности. (смотри рисунок.)

Предел функции нескольких переменных

   Функция f (M) = f (x1, x2, …, xn) имеет предел А Rm при стремлении переменных M (x1, x2, …, xn) Rn к величинам M0 (a1, a2, …, an) Rn, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует положительное и зависящее от этого ε число δ, что для всех точек М (x1, x2, …, xn) Rn попадающих в δ окрестность точки М0 значения функции попадают в ε окрестность точки А:

( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0) ( M Oδ ( M 0 ) \ {M0}): f (M) Oε(A).

   Точка М может и не совпадать с М0. Следует отметить, что этот предел должен существовать и не зависеть от способа стремления переменных ( x1, x2, …, xn ) к величинам (a1, a2, … , an).
Это свойство можно записать так

.

   На основании леммы п. 1 можно утверждать, что стремление к точке означает координатную сходимость
.
   Независимость стремления переменной точки к точке сгущения означает, что
.
   Рассмотрим примеры, которые иллюстрируют зависимость значения предела от характера стремления текущей точки к точке сгущения, что означает отсутствие предела.
   Пример 1. Рассмотрим предел функции

при стремлении к началу координат по прямым у = k·x:
Рассмотрим предел той же функции при стремлении к началу координат по параболам у = а·х2:
,
и получается, что каждой параболе соответствует своё значение предела. Что свидетельствует о зависимости предела от способа стремления текущей точки к точке сгущения. Это означает, что данная функция не имеет предела в начале координат.
   Пример 2. Рассмотрим предел функции
, (х, у) ≠ (0, 0)
при стремлении текущей точки к началу координат. Непосредственно имеем
,
.
Видно, что значение предела зависит от способа стремления текущей точки к началу координат
.
   Теорема 1. Если Доказательство. Соотношение (1.1) означает, что

(ε > 0) ( δ = δ (ε, M0) > 0) ( 0 < |x – a| < δ, 0 < |y - b | < δ)): |f (x, y) – A| < ε

Зафиксируем переменную у в интервале 0 < |у - b| < δ и перейдём к пределу в неравенстве | f (x, y) - А | < δ при х → а. Получим | φ(y) - А| < ε, где 0 < | у - b | < δ, что означает
.

Непрерывность функции многих переменных

Определение. Функция f (M) = f (x1, x2, …, xn) непрерывна в точке М′( x'1, x'2, …, x'n), если предел функции в точке равен значению функции в этой точке:
.                        (1.2)
   На языке ε – δ определение непрерывности (1.2) записывается так

( ε > 0) ( δ = δ(ε, М') > 0) ( М Rn: 0 < d(M, M') < δ): d (f (M), f (M')) < ε.

   Функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям независимых переменных соответствуют бесконечно малые приращения функции.
   Определение. Функция f (x1, x2, …, xn) непрерывна в некотором множестве М точек n – мерного пространства, если она непрерывна в каждой точке этого множества, каждая точка которого является для него точкой сгущения.

Свойства непрерывных функций

   Теорема о непрерывности суперпозиции. Если функции φi(P) (i = 1, 2, …, n) непрерывны в точке Р( t1, t2, …, tm) Ω Rm, а функция f (M) непрерывна в соответствующей точке М( x1, x2, …, xn) с координатами х1 = φ1(t1, t2, …, tm), … , хn = φn(t1, t2, … , tm), то и сложная функция f (φ 1(t1, t2, … , tm), … , φn(t1, t2, … , tm)) = f (φ 1(P), … , φ n(P)) будет непрерывна в точке Р.
   Теорема 2. Пусть функция f (х, у) определена и непрерывна в некоторой связанной области D. Если в двух точках М0(х0, у0) и М1(х1, у1) этой области функция принимает значения разных знаков

f (х0, у0) < 0, f (х1, у1) > 0,

то в этой области найдётся точка М'(х', у'), в которой функция обращается в ноль:

f(х', у') = 0.

   Доказательство. Так как область D является связанной, то указанные две точки М0 и М1 можно соединить ломанной (смотри рисунок.).
   Перебирая значения функции в вершинах ломаной, найдём звено, на концах которого функция f (х, у) принимает значения противоположных знаков. Составим уравнение звена, соединяющего эти две найденные вершины

х = х0 + t·(х1 – х0), у = у0 + t·(у1 – у0), 0 ≤ t ≤ 1.                        (1.3)

Подставив (1.3) в f (х, у), получим функцию одного переменного F(t) = f (х0 + t·(х1 – х0), у0 + t·(у1 – у0)), 0 ≤ t ≤ 1. Для этой функции одного переменного имеем F(0) = f (х0, у0) < 0, F(1) = f (х1, у1) > 0. Опираясь на свойство функции одной переменной, получим существование такого значения t', что F(t') = 0, 0 ≤ t' ≤ 1: F(t') = f (х0 + t'·(х1 – х0), у0 + t'·(у1 – у0)) = f (х', у') = 0.

Функции многих переменных в MAPLE

> z:=(x,y)->x^2+y^2+2*x+6*y+10;

> plot3d(sin(x*y),x=-1..1,y=-1..1); (смотри рисунок.)
Можно изучать поведение функции в зависимости от некоторого параметра
>with(plots): animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi,t=1..2);

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется множеством Rn?
  2. Что называются точками пространства Rn?
  3. Что называется ε – окрестностью точки M0?
  4. Что называется точкой сгущения множества V?
  5. Что называется n – мерным параллелепипедом?
  6. Что называется n – мерным кубом с центром в точке М0?
  7. Что называется прямоугольной окрестностью точкиМ0?
  8. Что называется функцией многих переменных?
  9. Как функцию многих переменных можно записать в координатной форме.
  10. Что называется скалярной функцией векторного аргумента?
  11. Что называется областью определения функции?
  12. Как можно геометрически истолковать скалярную функцию двух переменных?
  13. Дайте определение предела функции f (M) = f ( x1, x2, … , xn) в точке А Rn.
  14. Приведите примеры зависимости предела функции многих переменных от способа стремления текущей точки к точке сгущения. Что это означает с точки зрения существования предела?
  15. Дайте определение непрерывности функции многих переменных в точке.
  16. Дайте определение непрерывности функции многих переменных.
  17. Сформулируйте свойства непрерывных функций многих переменных.