К разделу
СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫК СОДЕРЖАНИЮ ПЕРВОГО КУРСА
ЛЕКЦИЯ 1 Пространство Rn . Функции нескольких переменных . Предел функции нескольких переменных . Непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывных функций. Задание функции многих переменных в MAPLE. Вопросы для самопроверки.
(Пространства n – измерений)
(Функция многих переменных. Частные и полное приращения)
(Предел функции многих переменных)
ЛЕКЦИЯ 2 Лемма Больцано – Вейерштрасса. Теорема Вейерштрасса. Определение равномерной непрерывности. Частные производные . Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Применение пакета MAPLE для вычисления частных производных. Вопросы для самопроверки.
(Частные производные функции многих переменных)
ЛЕКЦИЯ 3 Дифференциал функции. Связь дифференциала с частными производными. Применение полного дифференциала для вычисления приближённого значения функции многих переменных. Частные производные высших порядков. Примеры вычисления частных производных второго порядка. Теорема о смешанных производных. Вопросы для самопроверки.
(Частные производные высшего порядка функции многих переменных. Теорема о смешанных производных)
(Неизменность формы дифференциала 1-го порядка)
ЛЕКЦИЯ 4 Производная сложной функции . Полная производная . Инвариантность формы полного дифференциала. Теорема существования неявной функции. Производная функции, заданной неявно. Касательная плоскость. Уравнение нормали к поверхности в данной точке . Производная функции, заданной неявно, уравнение касательной плоскости к поверхности в данной точке, уравнение нормали к поверхности в данной точке в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки. Уравнение касательной плоскости к эллипсоиду и двуполостному гиперболоиду .
(Производная сложной функции многих переменных)
(Дифференциал, полная производная функции многих переменных)
(Касательная плоскость и нормаль к поверхности)
(Уравнение касательной плоскости к эллипсоиду и двуполостному гиперболоиду)
ЛЕКЦИЯ 5 Дифференциалы высшего порядка. Формула Тейлора разложения функции многих переменных. Разложение функции многих переменных в пакете MAPLE. Экстремум функции многих переменных . Необходимое условие экстремума . Нахождение точек экстремума и экстремальных значений функции многих переменных в пакете MAPLE. Достаточные условия экстремума двух переменных . Применение достаточных условий в пакете MAPLE. Понятие условного экстремума. Метод избыточных координат . Пример применения достаточных условий экстремума . Поиск условного экстремума в пакете MAPLE. Вопросы для самопроверки.
(Экстремум функции многих переменных (определение))
(Необходимое условие экстремума функции многих переменных)
(Достаточные условия экстремума скалярной функции двух переменных)
(Условный экстремум скалярной функции 3-х переменных. Метод избыточных координат)
ЛЕКЦИЯ 6 Огибающая семейства кривых, зависящих от одного параметра. Примеры. Эволюта. Задания.
ЛЕКЦИЯ 7 Скалярное поле. Линии уровня . Производная по направлению . Связь производной по направлению с частными производными. Пример вычисления производной по направлению. Примеры. Градиент . Свойства градиента.
(Линии уровня и поверхности уровня функции многих переменных)
(Градиент скалярного поля)
(Производная скалярной функции векторного аргумента по направлению)

СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ "ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ"

ЗАДАНИЕ 1Вычислить частные производные первого порядка функций в точке А. Результат округлить до сотых.
ЗАДАНИЕ 2Вычислить приближённое значение функции в точке A, заменив приращение функции дифференциалом. Вычислить относительную погрешность.
ЗАДАНИЕ 3Для неявно заданной функции F (x, y) = F (x0, y0) найти производную в точке А(х0, у0).
ЗАДАНИЕ 4Найти экстремумы функции f (x, y) при заданных ограничениях F(x, y, z) = 0.
ЗАДАНИЕ 5 Найти максимальное и минимальное значения функции z = f ( x, y) в замкнутой области D.
ЗАДАНИЕ 6 Найти производную скалярного поля в точке М по направлению нормали к поверхности, образующей острый угол с положительным направлением оси Оz
ЗАДАНИЕ 7 Найти в градусах угол между градиентами скалярных полей
Тест 1Частные производные первого и высших порядков. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.