К разделу
ЛЕКЦИЯ 2 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Лемма Больцано – Вейерштрасса.
  2. Теорема Вейерштрасса.
  3. Определение равномерной непрерывности.
  4. Частные производные.
  5. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных.
  6. Применение пакета MAPLE для вычисления частных производных.
  7. Вопросы для самопроверки.

Лемма Больцано – Вейерштрасса

   Из любой ограниченной последовательности точек М1( х1, у1), М2( х2, у2), … , Мn( хn, уn), … всегда можно выделить такую частичную последовательность, которая бы сходилась к предельной точке.
   Доказательство. Если последовательность точек ограничена, то существует такой прямоугольник, который содержит все точки последовательности. Разделим многоугольник на четыре равные части I, II, III, IV. Выберем из этих четырёх частей ту часть, которая имеет бесконечное число точек последовательности (смотри рисунок.). Процесс последовательного дробления прямоугольников представим продолжающимся до бесконечности. Измерения прямоугольников

стремятся к нулю при k → ∞. Применяя теорему о вложенных промежутках по каждому измерению, получим
,
то есть последовательности прямоугольников стягиваются в точку M (x, y). Выбрав по одной точке последовательности из каждого такого прямоугольника, получим подпоследовательность точек, которая сходится к точке M (x, y).

Теорема Вейерштрасса

   Если функция f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то функция ограничена, то есть все её значения содержатся между двумя конечными границами:

m ≤ f (x, y) ≤ М .                     (2.1)
   Доказательство проведём от противного: пусть это не так и в области D функция f (x, y) неограничена. Тогда для любого номера n найдётся в области D такая точка Мn(xn, yn), что | f (xn, yn)| > n. Но из ограниченной последовательности точек {Mn} можно выделить подпоследовательность {Mnk}, сходящуюся к предельной точке М'(х', у') D, так как D — замкнута. Переходя к пределу функции по этой подпоследовательности, получим

f (Mnk) = f (xnk, ynk) →f (M') = f (x', y') = ∞,

что находится в противоречии с неравенством (2.1).

Определение равномерной непрерывности

( " ε >0) ($ δ = δ(ε) > 0) (" 0 < |х – х0 | < δ, 0 < |у – y0| < δ): |f (x, y) - f (x0, y0) | < ε.

   По заданному как угодно малому ε > 0 можно найти такое δ > 0, которое годилось бы в указанном смысле для всех точек (х0, у0) D одновременно, что для всех точек (х, у) из прямоугольной δ – окрестности точки (х0, у0) значения функции f (x, y) будут отличаться от значения функции f (x0, y0) на величину, меньшую ε.

Частные производные

   Пусть в некоторой открытой области D определена функция u = f (x, y, z), пусть М0(x0, y0, z0) некоторая точка области D. Если зафиксировать переменные y = y0, z = z0 и менять только х в окрестности точки х0, то функция u = f ( x, y0, z0) будет функцией одного переменного. Величина

Δх u = f (x0 + Δ х, y0, z0) – f (x0, y0, z0)

называется частным приращением функции по переменной х; частные приращения функции по переменным у и z определяются аналогично

Δ y u = f (x0, y0 + Δy, z0) – f (x0, y0, z0), Δzu = f (x0, y0, z0 + Δz) – f (x0, y0, z0).

   Определение. Частной производной по переменной х называется предел частного приращения функции по переменной х к частному приращению аргумента, если этот предел существует:
.
   Аналогично определяются частные производные функции по переменным у и z:
.
   Поскольку определение частных производных по существу совпадает с определением производной функции одного переменного (при фиксированных остальных аргументов), то правила вычисления частных производных совпадают с правилами дифференцирования функции одного переменного (при фиксированных остальных аргументов).
   Пример 1. Вычислить частные производные функции u = x y.
   Решение.
,
так как при фиксированном у эта функция является степенной, при постоянной х — показательной.

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

   Частная производная в данной точке численно равна тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной в данной точке к кривой, получаемой в сечении поверхности z = f (x, y) плоскостью y = const, проходящей через эту точку.
   Частная производная в данной точке численно равна тангенсу угла наклона к оси ординат касательной в данной точке к кривой, получаемой в сечении поверхности z = f(x, y) плоскостью x = const, проходящей через эту точку (смотри рисунок.).
.

Применение пакета MAPLE для вычисления частных производных

> restart:z:=(x,y)->-x^5-y^3+2*x-3*y+80;#Зададим функцию

> D[1](z);D[2](z);#Вычислим частные производные


> x1:=3:y1:=2:D[1](z)(x1,y1);D[2](z)(x1,y1);#Вычислим частные производные в данной точке

- 403
- 15

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте лемму Больцано – Вейерштрасса и докажите её.
  2. Сформулируйте теорему Вейерштрасса и докажите её.
  3. Дайте определение равномерной непрерывности.
  4. Чем отличается просто непрерывность функции в точке от равномерной непрерывности?
  5. Дайте определение частной производной функции многих переменных.
  6. Почему при вычислении частных производных можно применять правила дифференцирования, имеющие место для функции одного переменного?
  7. Какой геометрический смысл имеют частные производные для функции многих переменных?