К разделу
ЛЕКЦИЯ 3 К СОДЕРЖАНИЮ
  1. Дифференциал функции.
  2. Связь дифференциала с частными производными.
  3. Применение полного дифференциала для вычисления приближённого значения функции многих переменных.
  4. Частные производные высших порядков.
  5. Примеры вычисления частных производных второго порядка.
  6. Теорема о смешанных производных.
  7. Вопросы для самопроверки.

Дифференциал функции

   Функция z = f (M) дифференцируема в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде суммы линейной части относительно приращений аргументов и слагаемых более высокого порядка малости относительно приращений аргументов:
Δz = A Δx + B Δy + o (Δx, Δy)                     (1)
где
.
   Определение. Дифференциалом функции z = f (M) в точке М называется линейная относительно приращений аргументов Δ x и Δ у часть полного приращения этой функции в этой точке:
d z = A·Δ x + B·Δ y.                     (2)

Связь дифференциала с частными производными

   В выражении дифференциала (2) величины А и В равны частным производным функции по соответствующим переменным:
  и  .
   Доказательство. Зафиксируем переменную у, так что она не получает приращения Δ y = 0. В этом случае полное приращение функции Δ z становится частным по переменной х и формула (1) принимает вид
Δx z = A·Δx + o(Δ x).
Откуда
.                     (3)
Переходя к пределу в обеих частях соотношения (3), получим
,
откуда, в силу определения частной производной  и определения бесконечно малой более высокого порядка, чем Δ х, получим . Что и требовалось доказать.
   Аналогично доказывается соотношение .
   С учётом этого дифференциал (2) можно записать в виде
                     (4)
Из (4) следует, что дифференциалами независимых переменных х и у являются приращения этих переменных:
dx = Δ x, dy = Δ y.
Тогда дифференциал функции можно записать в виде
.
   Из определения дифференциала следует, что разность между полным приращением и дифференциалом функции в точке М есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ х и Δ у:
Δ z - dz = o(Δx, Δy).
Отбрасывая при достаточно малых Δ х и Δ у величину o(Δ x, Δ y), получаем приближенную формулу Δ z » dz , из которой вытекает формула линеаризации для функции многих переменных:
.

Применение полного дифференциала для вычисления приближённого значения функции многих переменных

   Пример 1. Дана функция z = x2 + y2 – 2·x + 2·y и две точки А(1, 2) и В( 1,08; 1,94 ). Найти:
  1. значение функции в точке В;
  2. приближённое значение z1 функции в точке В, заменяя приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность вычисления при замене приращения функции дифференциалом.
   Решение. Вычислим значение функции в точке В:
z(B) = 1,08² + 1,94² – 2·1,08 + 2·1,94 = 6,65.
   Приближенное значение z1 в точке В найдём по формуле линеаризации:

z1(B) = z0 + dz, где z0 = z(1, 2) = 12 + 22 – 2·1 + 2·2 = 7.

Найдём приращения аргументов

Δ x = x – x0 = 1,08 – 1 = 0,08; Δ y = y – y0 = 1,94 - 2 = - 0,06.

Найдём значения частных производных функции в точке А
   .
Найдём значение дифференциала
   Приближённое значение функции в точке В равно z = 7 − 0,36 = 6,64.
   Относительная погрешность вычисления равна
   Пример 2. На сколько увеличится объём цилиндра, если его радиус R и высота H увеличится на величину k?
   Решение. (смотри рисунок.)
   Первоначальный объем цилиндра равен V' = π·R2·Н. Если величины R и Н увеличить на величину k, то объём цилиндра приближённо увеличится на величину
    Точное решение имеет вид

   Точный результат отличается от приближённого на величину π·k2·(2·R + H + k), состоящую из величины второго и третьего порядка малости относительно k.
   Пусть, к примеру, R = 4 см, Н = 20 см, k = 0,1 см. Точное значение объёма равно
V = π·4·0,1·(2·20 +4) + π·0,12·(2·4 + 20 + 0,1) = 16,321·π.
Приближённое значение объёма равно

V » π·4·0,1·(2·20 + 0,1) = 16,04·π.

Относительная погрешность равна
.
   Пример 3. Гипотенуза с и катет а определяются с максимальными абсолютными погрешностями | Δ с | =0,2; |Δ а| = 0,4 и соответственно равны с = 75, а = 32. Определить угол А по формуле и максимальную абсолютную погрешность |Δ А| измерения этого угла.
   Решение. Из условия примера имеем . Вычислим частные производные
.
Заменяя приращение величины её дифференциалом, получим
.
Таким образом,
.

Частные производные высших порядков

   Пусть частные производные функции z = f (x, y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М) в этой точке и обозначаются следующими символами

   Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.

Примеры вычисления частных производных второго порядка

   Пример 4. Найти частные производные второго порядка функции

z = x4 + 4·x2·y3 + 7·x·y + 1.

   Решение. Найдём частные производные первого порядка

Найдём частные производные второго порядка

   Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции z = sin x·cos y.
   Р е ш е н и е. Найдём частные производные первого порядка
.
   Найдём частные производные второго порядка

В обоих примерах смешанные частные производные , равны. Но, вообще говоря, значения мешанных производных зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.
   Рассмотрим, к примеру, функцию

Имеем
, .
Приняв частное значение, равное нулю, будем иметь при любом у ( в том числе и при у = 0) Продифференцировав эту функцию по у, получим Отсюда, в частности, в точке (0, 0) будем иметь Таким же образом для в точке (0, 0) будем иметь
   Итак, для рассматриваемой функции

Теорема о смешанных производных

   Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
   Теорема. Предположим, что:
  1. f (x, y ) определена в некоторой (открытой) области D;
  2. в этой области существуют производные , а также вторые смешанные производные ,
  3. эти смешанные производные как функции х и у непрерывны в некоторой точке (х0, у0) области D .
Тогда в этой точке имеет место равенство .
   Доказательство. Рассмотрим выражение

где Δ х и Δ у — любые столь малые числа, что точка M1(x0 + Δ x, y0 + Δ y) находится в указанной области D . Введем вспомогательную функцию

φ (x) = f (x, y0 + Δ y) − f (x, y0);

тогда выражение А можно рассматривать как приращение дифференцируемой на отрезке [х0, х0 + Δ х] функции φ(х) одной переменной х:
A = Δ φ = φ (x0 + Δx) − φ (x0)
Поэтому, применяя к этой разности теорему Лагранжа, запишем

где 0 < θ1 < 1. Выражение в квадратных скобках можно рассматривать как приращение дифференцируемой на отрезке [у0, у0 + Δ у] функции одной переменной у. Применяя еще раз теорему Лагранжа (по переменной у), получаем
                     (5)
   С другой стороны, если вести вспомогательную функцию ψ (y) = f (x0 + Δ x, y) − f (x0, y), то, поступая аналогично, получим
A = Δ ψ = ψ (y0 + Δ y) − ψ (y0)
а затем
                     (6)
Сравнивая (5) и (6), получаем
.
   Переходя теперь в этом равенстве к пределу при Δ х → 0, Δ у → 0 и учитывая непрерывность частных производных
f ''yx(x, y), f ''xy(x, y) в точке М, получим

или

   Вопрос о существовании и равенстве смешанных производных тождественен с вопросом о существовании и равенстве повторных пределов для выражения А.

Усиление теоремы

    Пусть, помимо существования первых производных, существует только одна из смешанных производных, например f ''xy(x, y) в окрестности точки (x0, y0) (исключая даже саму эту точку). Пусть, далее, существует конечный предел . Отсюда уже вытекает существование в точке (x0, y0) обеих смешанных производных и их равенство. (Это предложение принадлежит Шварцу.)

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение дифференциала функции многих переменных.
  2. Какую связь имеет дифференциал функции многих переменных с частными производными?
  3. Какая основная идея применения дифференциала функции многих переменных в приближённых вычислениях?
  4. Дайте определение частных производных высшего порядка функции многих переменных.
  5. Приведите некоторые примеры применения дифференциала в приближённых вычислениях.
  6. Сформулируйте и докажите теорему о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования функции многих переменных.