fmp_lek4

ЛЕКЦИЯ 4

К СОДЕРЖАНИЮ

Производная сложной функции.
Полная производная.
Инвариантность формы полного дифференциала.
Теорема существования неявной функции.
Производная функции, заданной неявно.
Касательная плоскость.
Уравнение нормали к поверхности в данной точке.
Производная функции, заданной неявно, уравнение касательной плоскости к поверхности в данной точке, уравнение нормали к поверхности в данной точке в пакете MAPLE.
Вопросы для самопроверки.

Производная сложной функции

Пусть z = F(u, v) — некоторая функция переменных u и v. В свою очередь переменные u и v являются функциями u = φ ( x, y), v = ψ ( x, y) переменных х и у. Область изменения функций u = φ (x, y), v = ψ (x, y) принадлежит области определения функции F(u, v). Тогда z = F(φ ( x, y), ψ ( x, y) — сложная функция переменных х и у. В дальнейшем будем предполагать выполненными условия существования сложной функции.
Кроме того, пусть функции F(u, v), φ ( x, y), ψ (x, y) имеют непрерывные частные производные по своим переменным. Сохраняя переменную у постоянной, зададим переменной х приращение Δ х, тогда частное приращение переменной z определится соотношением

(1) где γ ₁ → 0, γ ₂ → 0 при Δ _хu → 0, Δ _хv → 0. Разделим соотношение (1) на Δ х

(2) Если Δ х → 0, то Δ _хu → 0, Δ _хv → 0 и γ ₁ → 0, γ ₂ → 0, поэтому, выполняя предельный переход в (2) при Δ х → 0, получим

(3) Аналогично получим

. (4)

Полная производная

Если z = F(x, y, u, v) и y = f (x), u = φ (x), v = ψ (x), то функция z = F(x, f (x), φ (x), ψ (x)) — является функцией одного переменного. В соответствии с (3) в этом случае имеем

. (5) Учитывая, что переменные y, u, v являются функциями одного переменного, получим окончательно формулу для вычисления полной производной

. (6) Пример 1. Вычислить полную производную функции z = x² + √y, если y = sin x.
Решение. Вычислим производные

. В соответствии с (6) будем иметь

Инвариантность формы полного дифференциала

Выражение полного дифференциала функции нескольких переменных имеет тот же вид вне зависимости от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями других независимых переменных.
Доказательство опирается на формулу полного дифференциала, соотношения (3) и (4)

Что и требовалось доказать.

Теорема существования неявной функции

Теорема. Пусть

1) функция F(x, y)определена и непрерывна в некотором прямоугольнике D = [х₀ - Δ ' , х₀ + Δ ' , у₀ - Δ , у₀ + Δ] с центром в точке (х₀, у₀).
2) F(x, y) в этой точке обращается в ноль: F( x₀, y₀) = 0.
3) при постоянном х функция F( x, y) монотонна.

Тогда

a) в некоторой окрестности точки (х₀, у₀) уравнение F(x, y) = 0 определяет у как функцию от х: у = f (x);
b) при х = х₀ эта функция принимает значение у₀: у₀ = f (x₀);
c) функция f (x) — непрерывна.

Доказательство. Будем передвигаться вдоль вертикали, проходящей через точку М₀ (смотри рисунок.). Тогда функция F( x₀, y) одной переменной будет, например, возрастающей, и так как F(x₀, y₀) = 0, то F(А₀) = F(x₀, y₀ − Δ ) < 0, F(В₀) = F(x₀, y₀ + Δ ) > 0. Здесь координаты точек А₀ = (х₀, у₂) = (х₀, у₀− Δ ), В₀ = (х₀, у₁) = (х₀, у₀ + Δ ). Рассмотрим функции F(x, y₀− Δ ) и F(x, y₀ + Δ ) одной переменной, причём F(x₀, y₀ - Δ ) < 0 и F(x₀, y₀ + Δ ) > 0. Тогда найдётся такая окрестность точки (х₀− δ , х₀ + δ ), в которой F(x, y₀− Δ ) < 0 и F(x, y₀ + Δ ) > 0 по свойству сохранения знака непрерывной функции. Здесь координаты точек А₁ = (х₂, у₂) = (х₀− δ , у₀− Δ ), В₁ = (х₂, у₁)= (х₀− δ , у₀ + Δ ), А₂ = (х₃, у₂) = (х₀ + δ , у₀− Δ ), В₂ = (х₃, у₁) = (х₀ + δ , у₀ + Δ ). На нижнем и верхнем основании исходного прямоугольника вдоль отрезков А₁А₂ и В₁В₂ длины 2·δ с центром в точках А₀ и В₀ заданная функция F(x, y) имеет разные знаки. Рассмотрим отрезок АВ, где А(х, у₀− Δ ), В(х, у₀ + Δ ). Вдоль неё функция F(x, y) тоже будет функцией одной переменной у. Так как она непрерывна и на концах отрезка имеет противоположные по знаку значения, то существует такое у на интервале (у₀− Δ , у₀ + Δ ), что F(x, y) = 0, причём при у ≤ у₀ следует F(x, y) ≤ 0 и у ≥ у₀ следует F(x, y) ≥ 0, то есть это значение у единственно. На каждом вертикальном отрезке АВ найдётся такая точка (х, у), которая удовлетворяет условию F(x, y) = 0. Таким образом, положение а) доказано. Из вышеприведённого доказательства имеем также b), а также свойство

(" ε = Δ > 0 ) ($δ = δ (ε ) > 0) ( " х (х₀− δ , х₀ + δ )) : у (у₀− ε , у₀ + ε ).

Это означает непрерывность функции, т.е.

Производная функции, заданной неявно

Пусть непрерывная функция у от х задаётся неявно F(x, y) = 0, где F(x, y), F ^'_x(x, y), F ' _y(x, y) есть непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х, у), координаты которой удовлетворяют соотношениям F (x, y) = 0, F ' _y(x, y) ≠ 0. Тогда функция у от х имеет производную

. Доказательство (смотри рисунок.). Пусть F ' _y(x, y) > 0. Так как производная F ' _y(x, y) непрерывна, то можно построить квадрат [х₀ - δ' , х₀ + δ' , у₀ - δ' , у₀ + δ' ], чтобы для всех его точек было F '_y (x, y) > 0, то есть F(x, y) является монотонной по у при фиксированном х. Таким образом, выполнены все условия теоремы существования неявной функции у = f (x), такой, что F(x, f (x)) º 0.
Зададим приращение Δ х. Новому значению х + Δ х будет соответствовать у + Δ у = f (x + Δ x), такое, что эти значения удовлетворяют уравнению F (x + Δ x, y + Δ y) = 0. Очевидно, что

Δ F = F(x + Δ x, y + Δ y) − F(x, y) = 0

и в этом случае

, (7) где

. Из (7) имеем

. Так как неявная функция у = f (x) будет непрерывна, то Δ у → 0 при Δ х → 0, значит α → 0 и β → 0. Откуда окончательно имеем

. Что и требовалось доказать.

Касательная плоскость

На координатной плоскости Оху определим три точки А₀(х₀, у₀, 0), А₁(х₀ + Δ х, у₀, 0), А₂(х₀, у₀ + Δ у, 0) и соответствующие им точки М₀(х₀, у₀, z₀), М₁(х₀ + Δ х, у₀, z₀ + Δ _x z), М₂(х₀, у₀ + Δ у, z₀ + Δ _yz) на поверхности с уравнением z = f (x, y) (смотри рисунок.).
Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки М₀, М₁, М₂

. Разложив определитель по первой строке, получим уравнение секущей плоскости

– (x – x₀ )·Δ у·Δ _хz – (у – у₀)·Δ х·Δ _yz + (z – z₀)·Δ х·Δ у = 0. (8)

Определение. Касательной плоскостью, проведённой к поверхности в заданной точке М₀, назовем предельное положение секущей плоскости, проходящей через три точки М₀, М₁, М₂ поверхности, когда точки М₁, М₂ стремятся к точке М₀ по поверхности, если это предельное положение существует, не зависит от способа стремления точек М₁, М₂ к точке М₀ и оно единственно.
Разделим обе части соотношения (8) на Δ х·Δ у

и перейдём к пределу в получившемся соотношении при Δ х → 0, Δ у → 0, получим уравнение касательной плоскости

. (9) Если уравнение поверхности задано неявным образом F(x, y, z) = 0, то частные производные в (9) можно найти по известным формулам производных неявно заданных функций

, и уравнение касательной плоскости к поверхности в данной точке примет вид

. Если ввести обозначения

, то уравнение касательной плоскости запишется в виде A·( x - x₀) + B·( y - y₀) + C·( z - z₀) = 0. (10)

Уравнение нормали к поверхности в данной точке

Прямая, проведённая через заданную точку поверхности и перпендикулярную касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в заданной точке (смотри рисунок.).
В разделе аналитической геометрии при изучении плоскости в пространстве был указан геометрический смысл коэффициентов A, B, C при текущих параметрах уравнения плоскости: эти коэффициенты являлись координатами вектора, перпендикулярного плоскости (координатами нормального вектора плоскости). Для записи уравнения нормали к поверхности в заданной точке мы имеем все: координаты точки (x₀, y₀, z₀), через которую проходит прямая, и вектор (А, В, С), в направлении которого проходит прямая. Поэтому каноническое уравнение нормали к поверхности заданной точке имеет вид

. (11) Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке М₀ (1, 2, 5) к поверхности z = x² + y².
Решение. Воспользуемся уравнением (9). В данном случае

(12) Подставиви (12) в (9), получим (x - 1)·2 + (y - 2)·4 - (z - 5) = 0, или окончательно 2 x + 4 y - z - 5 = 0. Для вывода уравнения нормали воспользуемя соотношением (11), в данном случае А = 2, В = 4, С = -1:

. (13) Из уравнений (13) получим уравнение нормали в параметрической форме

Пример 2. Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке М₀ (3, 4, 12) к поверхности x² + y² + z² = 169.
Решение. Воспользуемся уравнением (11). В данном случае F (x, y, z) = x² + y² + z² - 169 = 0 и

Уравнение (10) касательной примет вид 6 (x - 3) + 8 (y - 4) + 24 (z - 12) = 0, или окончательно 3 x + 4 y + 12 z - 169 = 0.
Уравнение нормали в данном случае будет иметь вид, здесь А = 3, В = 4, С = 12:

. (14) Из (14) получим уравнение нормали в данном случае

Производная функции, заданной неявно, уравнение касательной плоскости к поверхности в данной точке, уравнение нормали к поверхности в данной точке в пакете MAPLE

Вводится соотношение для определение неявной функции и вычисляется производные неявно заданной функции F(x, y) = 0
> restart:f:=a*x^2+b*y^2=1:implicitdiff(f,y,x);

Вывод уравнения касательной плоскости к поверхности в данной точке
> restart:a:=1:b:=2:c:=4:x0:=0.5:y0:=1:f1:=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0;

> zt:=solve(f1,z);

> z0:=subs([x=x0,y=y0],zt[1]);

> A1:=implicitdiff(f1,z,x);

> A:=subs([x=x0,y=y0,z=z0],A1);

> B1:=implicitdiff(f1,z,y);

> B:=subs([x=x0,y=y0,z=z0],B1);

> tp1:=(x-x0)*A+(y-y0)*B-(z-z0)=0;

> sort(tp1);

Вывод уравнения нормали к поверхности в данной точке
> restart:a:=1:b:=2:c:=4:x0:=0.5:y0:=1:f1:=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0;

> zt:=solve(f1,z);

> z0:=subs([x=x0,y=y0],zt[1]);

> A1:=implicitdiff(f1,z,x);

> A:=subs([x=x0,y=y0,z=z0],A1);

> B1:=implicitdiff(f1,z,y);

> B:=subs([x=x0,y=y0,z=z0],B1);

> tl:=[x0+A*t,y0+B*t,z0-t];

Нижеприведённый фрагмент программы покажет анимацию стремления секущей плоскости к касательной при условии стремления текущих точек к опорной по поверхности.
> restart:with(plots):f:=(x,y)->sqrt(-x^2-y^2+9):f1:=plot3d(f(x,y),x=1..2.1,y=1..2.1,color=blue,grid=[10,10]):fig:=proc(n::integer);display({plot3d(f(1,1)+((f(1+1/n,1)-f(1,1))/(1/n))*(x-1)+((f(1,1+1/n)-f(1,1))/(1/n))*(y-1),x=1..2,y=1..2,color=yellow,grid=[5,5]),f1});end:display([seq(fig(i),i=1..50)],insequence=true,axes=BOXED);

Вопросы для самопроверки

Дайте определение сложной функцией многих переменных.
Запишите формулу для вычисления производной сложной функции многих переменных.
Запишите формулу для вычисления полной производной сложной функции.
Сформулируйте и докажите теорему о неявно заданной функции.
Сформулируйте и докажите теорему о производной неявно заданной функции.
Выведите уравнение касательной плоскости к поверхности в заданной точке.
Запишите уравнение нормали к поверхности в заданной точке.
Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке М₀ (1, 1, π/4) к поверхности z = arctg (y/x).
Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке М₀ (x₀, y₀, z₀) к поверхности a x ² + b y ² + c z ² = 1.
Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке М₀ (1, 1, 1) к поверхности z = y + ln (x/z).
На поверхности х² + 2y² + 3z² + 2xy + 2xz + 4yz = 8 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.
К поверхности х² + 2y² + 3z² = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x + 4y + 6z = 0.
Под каким углом пересекается цилиндр х² + y² = а² с поверхностью bz = xy в общей точке М₀ (x₀, y₀, z₀)?